Examkin

Question

Difficulty: Very hardEn Çok Olabilirlik Yöntemi (Maximum Likelihood Estimation)

X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n rastgele değişkenleri, olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x;θ)={θ2xe−θx,x>00,dig˘er durumlardaf(x; \theta) = \begin{cases} \frac{\theta}{2\sqrt{x}} e^{-\theta \sqrt{x}}, & x > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

olan bir kitleye ait bağımsız ve özdeş dağılımlı (i.i.d.) bir örneklem olsun (θ>0\theta > 0 bilinmeyen bir parametredir).

Buna göre, kitlenin beklenen değeri olan E[X]E[X] parametresinin en çok olabilirlik tahmin edicisi (MLE) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    1n2(∑i=1nXi)2\frac{1}{n^2} \left( \sum_{i=1}^n \sqrt{X_i} \right)^2
  2. B
    1n∑i=1nXi\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i
  3. 2n2(∑i=1nXi)2\frac{2}{n^2} \left( \sum_{i=1}^n \sqrt{X_i} \right)^2Answer
  4. D
    2n∑i=1nXi\frac{2}{n} \sum_{i=1}^n \sqrt{X_i}
  5. E
    2n2(∑i=1nXi)2\frac{2}{n^2} \left( \sum_{i=1}^n X_i \right)^2

Answer

Kitlenin beklenen değeri E[X]=2/θ2E[X] = 2/\theta^2'dir ve θ\theta'nın en çok olabilirlik tahmin edicisi kullanılarak hesaplanan 2n2(∑i=1nXi)2\frac{2}{n^2} \left( \sum_{i=1}^n \sqrt{X_i} \right)^2 ifadesidir.
Çözüm iki aşamadan oluşur: Önce verilen olasılık yoğunluk fonksiyonundan L(θ)L(\theta) yazılıp, ln⁡L(θ)\ln L(\theta)'nın türevi ile θ\theta'nın en çok olabilirlik tahmin edicisi θ^=n/∑Xi\hat{\theta} = n / \sum \sqrt{X_i} olarak bulunur. Ardından soruda istenen E[X]E[X] ifadesi, y=xy = \sqrt{x} dönüşümüyle üstel dağılımın ikinci momentine eşitlenerek E[X]=2/θ2E[X] = 2/\theta^2 olarak hesaplanır. MLE'nin değişmezlik özelliği gereği, θ^\hat{\theta} parametresi bu fonksiyonda yerine konarak nihai tahmin edici olan 2n2(∑Xi)2\frac{2}{n^2} \left( \sum \sqrt{X_i} \right)^2 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Kitlenin beklenen değerini (E[X]E[X]) θ\theta cinsinden hesaplayın.
E[X]=∫0∞xθ2xe−θxdxE[X] = \int_0^\infty x \frac{\theta}{2\sqrt{x}} e^{-\theta \sqrt{x}} dx. Burada y=x  ⟹  x=y2y = \sqrt{x} \implies x = y^2 ve dx=2ydydx = 2y dy dönüşümü yapılırsa integral ∫0∞y2θe−θydy\int_0^\infty y^2 \theta e^{-\theta y} dy haline gelir. Bu, θ\theta parametreli Üstel dağılımın ikinci momentidir ve değeri 2/θ22/\theta^2'dir.
En çok olabilirlik tahmin edicilerinde değişmezlik (invariance) özelliğini kullanabilmek için, tahmin edilmesi istenen fonksiyonun τ(θ)=E[X]=2/θ2\tau(\theta) = E[X] = 2/\theta^2 olarak belirlenmesi gerekir.
2
Örneklem için olabilirlik (Likelihood) ve log-olabilirlik fonksiyonlarını yazın.
L(θ)=∏i=1n(θ2Xie−θXi)=θn2n∏Xie−θ∑i=1nXiL(\theta) = \prod_{i=1}^n \left( \frac{\theta}{2\sqrt{X_i}} e^{-\theta \sqrt{X_i}} \right) = \frac{\theta^n}{2^n \prod \sqrt{X_i}} e^{-\theta \sum_{i=1}^n \sqrt{X_i}}. Buradan log-olabilirlik: ln⁡L(θ)=nln⁡θ−nln⁡2−12∑ln⁡Xi−θ∑i=1nXi\ln L(\theta) = n \ln \theta - n \ln 2 - \frac{1}{2} \sum \ln X_i - \theta \sum_{i=1}^n \sqrt{X_i} olur.
Maksimum noktayı bulmak için çarpım durumundaki olabilirlik fonksiyonunun logaritmasını almak türev işlemlerini kolaylaştırır.
3
Log-olabilirlik fonksiyonunun θ\theta'ya göre türevini alıp sıfıra eşitleyerek θ^\hat{\theta}'yı bulun.
∂ln⁡L(θ)∂θ=nθ−∑i=1nXi=0  ⟹  θ^=n∑i=1nXi\frac{\partial \ln L(\theta)}{\partial \theta} = \frac{n}{\theta} - \sum_{i=1}^n \sqrt{X_i} = 0 \implies \hat{\theta} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \sqrt{X_i}} olarak bulunur.
Birinci türevi sıfır yapan parametre değeri, olabilirlik fonksiyonunu maksimize eden en çok olabilirlik tahmin edicisidir.
4
MLE'nin değişmezlik (invariance) özelliğini kullanarak E[X]E[X]'in tahmin edicisini bulun.
E[X]^=2θ^2=2(n∑i=1nXi)2=2n2(∑i=1nXi)2\widehat{E[X]} = \frac{2}{\hat{\theta}^2} = \frac{2}{\left( \frac{n}{\sum_{i=1}^n \sqrt{X_i}} \right)^2} = \frac{2}{n^2} \left( \sum_{i=1}^n \sqrt{X_i} \right)^2
Eğer θ^\hat{\theta}, θ\theta'nın MLE'si ise, parametrenin bilinen bir τ(θ)\tau(\theta) fonksiyonunun MLE'si τ(θ^)\tau(\hat{\theta}) olur.

Key Concept

En Çok Olabilirlik Yöntemi ve Değişmezlik (Invariance) Özelliği
Rate this question

Topics

En Çok Olabilirlik Yöntemi (Maximum Likelihood Estimation)

More questions from this topic