Examkin

Question

Difficulty: Very hardSayma Kuralları ve Kombinatorik

Bir kamu kurumunda görev yapan 55 istatistikçi, 44 ekonomist ve 33 hukukçu arasından 66 kişilik bir denetim komisyonu oluşturulacaktır.

Komisyonun yapısı ve çalışma esaslarıyla ilgili şu kurallar belirlenmiştir:
- Komisyonda bir başkan ve bir başkan yardımcısı bulunacak, diğer 44 üye ise normal üye statüsünde olacaktır.
- Komisyon başkanı hukukçular arasından, başkan yardımcısı ise ekonomistler arasından seçilmelidir.
- Normal üye statüsündeki 44 kişinin en az ikisi istatistikçi olmalıdır.
- İstatistikçiler arasında bulunan Ayşe ve Burak isimli iki uzman, daha önceki bir projede yaşadıkları anlaşmazlık nedeniyle aynı komisyonda görev alamamaktadır (biri seçilirse diğeri seçilemez, ikisi birden de seçilmeyebilir).

Buna göre, bu denetim komisyonu kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

  1. A
    1080
  2. 1524Answer
  3. C
    1860
  4. D
    2520
  5. E
    3360

Answer

Komisyon, tüm koşullar dikkate alındığında 1524 farklı şekilde oluşturulabilir.
Doğru yanıt, bağımsız iki aşamanın (lider kadro seçimi ve normal üye seçimi) olasılıklarının doğru bir şekilde çarpılmasıyla elde edilmiştir. Lider kadro için 3×4=123 \times 4 = 12 durum vardır. Normal üyeler için ise 'en az 2 istatistikçi' şartını sağlayan 155 durumdan, Ayşe ve Burak'ın birlikte seçildiği 28 istenmeyen durum çıkarılarak 127 geçerli kombinasyon bulunmuştur. Sonuç 12×127=152412 \times 127 = 1524 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Başkan ve başkan yardımcısının seçilebileceği durum sayısını hesapla.
Başkan (Hukukçu): (31)=3\binom{3}{1} = 3 farklı şekilde, Başkan Yrd. (Ekonomist): (41)=4\binom{4}{1} = 4 farklı şekilde seçilir. Toplam: 3×4=123 \times 4 = 12 durum.
Komisyonun liderlik kadrosu için belirli meslek gruplarından tekil seçim yapılması zorunludur.
2
Geriye kalan aday havuzunu belirle.
Kalan adaylar: 55 İstatistikçi, 33 Ekonomist, 22 Hukukçu olmak üzere toplam 1010 kişidir.
Başkan ve başkan yardımcısı seçildikten sonra, normal üye statüsündeki 4 kişinin seçileceği evren 10 kişiye düşer.
3
Ayşe ve Burak kısıtlaması olmadan, en az iki istatistikçinin bulunduğu 4 kişilik normal üye kombinasyonlarını hesapla.
2 İstatistikçi + 2 Diğer: (52)×(52)=10×10=100\binom{5}{2} \times \binom{5}{2} = 10 \times 10 = 100. 3 İstatistikçi + 1 Diğer: (53)×(51)=10×5=50\binom{5}{3} \times \binom{5}{1} = 10 \times 5 = 50. 4 İstatistikçi + 0 Diğer: (54)×(50)=5×1=5\binom{5}{4} \times \binom{5}{0} = 5 \times 1 = 5. Toplam kısıtlamasız durum: 100+50+5=155100 + 50 + 5 = 155.
Komisyonun 'en az iki istatistikçi' kuralını sağlayan tüm olası alt kümelerini belirlemek için kullanılır.
4
Ayşe ve Burak'ın birlikte bulunduğu (istenmeyen) durum sayısını hesapla.
Ayşe ve Burak komisyonda ise, geriye kalan 10−2=810-2=8 kişiden 22 kişi daha seçilmelidir. Bu durumda istatistikçi sayısı zaten en az 2 olacağından koşul sağlanır. İstenmeyen durumlar: (82)=8×72=28\binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28.
İki uzmanın aynı komisyonda bulunmaması şartını sağlamak için, ikisinin birlikte olduğu durumlar tüm geçerli kombinasyonlardan çıkarılmalıdır.
5
Geçerli normal üye kombinasyonlarını bul ve toplam komisyon sayısını hesapla.
Geçerli normal üye kombinasyonu: 155−28=127155 - 28 = 127. Toplam komisyon sayısı: 12×127=152412 \times 127 = 1524.
Liderlik kadrosu seçim sayısı ile geçerli normal üye seçim sayısı çarpılarak nihai sonuca ulaşılır (Çarpım Kuralı).

Key Concept

Kısıtlı Kombinasyon, Çarpım ve Toplama Kuralı, İçerme-Dışlama Prensibi (Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar)
Rate this question

Topics

Sayma Kuralları ve Kombinatorik

More questions from this topic