Bir kamu kurumu siber güvenlik müdahale merkezinde, tespit edilen şüpheli ağ paketlerinin … — KPSS İstatistik

Bir kamu kurumu siber güvenlik müdahale merkezinde, tespit edilen şüpheli ağ paketlerinin analizi tek bir uzman sistem üzerinden yapılmaktadır. Merkeze şüpheli paket gelişleri Poisson sürecine, uzman sistemin analiz süreleri ise Üstel dağılıma uymaktadır.

Sistem donanım kısıtları nedeniyle aynı anda en fazla 3 şüpheli paketi barındırabilmektedir (1 paket analiz edilirken en fazla 2 paket kuyrukta bekleyebilir). Sistem tamamen dolu olduğunda gelen yeni şüpheli paketler alternatif bir yedek merkeze yönlendirilerek sisteme alınmamaktadır.

Ağ yükü ve aciliyet protokollerine göre sistemdeki paket sayısına ( $n$ ) bağlı olarak varış hızı ( $\lambda_n$ ) ve hizmet hızı ( $\mu_n$ ) (paket/dakika) dinamik olarak değişmektedir:

Sistemdeki Paket Sayısı ( $n$ )	Varış Hızı ( $\lambda_n$ )	Hizmet Hızı ( $\mu_n$ )
0	3	0
1	4	2
2	2	3
3	0	4

Buna göre, sistem kararlı duruma (steady-state) ulaştığında, bu merkezde (analiz edilen ve bekleyen toplam) ortalama şüpheli paket sayısı ( $L$ ) kaçtır?

A
$\frac{8}{11}$
B
$\frac{9}{11}$
C
$\frac{14}{13}$
$\frac{17}{11}$ Answer
E
$\frac{17}{9}$

Answer

Doğru cevap

\frac{17}{11}

'dir. Duruma bağlı varış ve hizmet hızlarıyla elde edilen denge denklemleri çözülerek sistemdeki ortalama paket sayısı bulunmuştur.

Sistemde duruma bağlı varış ve hizmet hızları uygulandığı için klasik kuyruk formülleri yerine kararlı durum (steady-state) denge denklemleri kullanılmalıdır. Doğum-Ölüm süreci mantığıyla komşu durumlar arasındaki akışlar eşitlenir (

\lambda_{n-1} P_{n-1} = \mu_n P_n

). Buradan

P_1 = 1.5 P_0

P_2 = 2 P_0

P_3 = P_0

bulunur. Olasılıkların toplamı 1'e eşitlenerek

P_0 = 2/11

elde edilir. Son adımda,

L = \sum n P_n

beklenen değer formülü uygulanarak

L = 1(3/11) + 2(4/11) + 3(2/11) = 17/11

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

Doğum-Ölüm süreci için her bir duruma ait kararlı durum (steady-state) denge denklemlerini kur.

Giren akış = Çıkan akış mantığıyla:
Durum 0:

\lambda_0 P_0 = \mu_1 P_1 \Rightarrow 3P_0 = 2P_1

Durum 1:

\lambda_1 P_1 = \mu_2 P_2 \Rightarrow 4P_1 = 3P_2

Durum 2:

\lambda_2 P_2 = \mu_3 P_3 \Rightarrow 2P_2 = 4P_3

Sistem durumları birbirine bağımlı hızlara sahip olduğu için standart formüller (örn.

M/M/1

) kullanılamaz; temel prensipten denklemler üretilmelidir.

Tüm durum olasılıklarını (

P_1, P_2, P_3

) sistemin boş olma olasılığı (

P_0

) cinsinden ifade et.

P_1 = \frac{3}{2} P_0 = 1.5 P_0

P_2 = \frac{4}{3} P_1 = \frac{4}{3}(\frac{3}{2} P_0) = 2 P_0

P_3 = \frac{2}{4} P_2 = \frac{1}{2}(2 P_0) = 1 P_0

Sistemin herhangi bir anında tüm olasılıkların toplamının 1 olması kuralını uygulayabilmek için tek bilinmeyenli denkleme dönüştürmek gerekir.

Olasılıklar toplamını 1'e eşitleyerek

P_0

değerini hesapla.

\sum P_n = P_0 + P_1 + P_2 + P_3 = 1

P_0(1 + \frac{3}{2} + 2 + 1) = 1

P_0(\frac{11}{2}) = 1 \Rightarrow P_0 = \frac{2}{11}

Sistemin olasılık dağılımının (olasılık kütle fonksiyonu) geçerli olabilmesi için normalizasyon şartıdır.

Diğer olasılıkları sayısal değere çevir ve Beklenen Değer formülü ile Sistemdeki Ortalama Paket Sayısını (

L

) bul.

P_1 = \frac{3}{11}, P_2 = \frac{4}{11}, P_3 = \frac{2}{11}

L = \sum_{n=0}^{3} n \cdot P_n = 0(\frac{2}{11}) + 1(\frac{3}{11}) + 2(\frac{4}{11}) + 3(\frac{2}{11})

L = \frac{0 + 3 + 8 + 6}{11} = \frac{17}{11}

Sistemdeki ortalama birim sayısı, her bir durumun o durumda bulunma olasılığı ile çarpımlarının toplamına (beklenen değerine) eşittir.

Key Concept

Duruma Bağlı (State-Dependent) Varış ve Hizmet Hızları ile Kararlı Durum (Steady-State) Analizi

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic