Examkin

Question

Difficulty: MediumRao-Blackwell Teoremi

Bir kalite kontrol sürecinde üretilen parçaların kusurlu olma olasılığı pp ile gösterilmektedir. Bu amaçla rastgele seçilen n=3n=3 birimlik bağımsız bir örneklem (X1,X2,X3X_1, X_2, X_3) için 11: 'Kusurlu' ve 00: 'Kusursuz' değerleri tanımlanmıştır. p2p^2 parametresini tahmin etmek amacıyla T=X1X2T = X_1 X_2 yansız tahmin edicisi kullanılmaktadır. S=∑i=13XiS = \sum_{i=1}^{3} X_i istatistiğinin pp için yeterli olduğu bilindiğine göre, Rao-Blackwell teoremi uygulanarak elde edilen iyileştirilmiş yansız tahmin edici aşağıdakilerden hangisidir?

  1. S(S−1)6\frac{S(S-1)}{6}Answer
  2. B
    S29\frac{S^2}{9}
  3. C
    S(S−1)2\frac{S(S-1)}{2}
  4. D
    S3\frac{S}{3}
  5. E
    S−16\frac{S-1}{6}

Answer

Rao-Blackwell teoremi ile elde edilen iyileştirilmiş yansız tahmin edici S(S−1)6\frac{S(S-1)}{6} ifadesidir.
Rao-Blackwell teoremi, yansız bir tahmin edici olan T=X1X2T=X_1 X_2 ifadesinin, yeterli istatistik SS üzerindeki koşullu beklentisinin (E[T∣S]E[T|S]) daha verimli (küçük varyanslı) bir yansız tahmin edici vereceğini belirtir. n=3n=3 birimlik Bernoulli örnekleminde, ilk iki birimin her ikisinin de 1 olma olasılığının toplam SS başarısı içindeki payı kombinatorik olarak hesaplandığında S(S−1)6\frac{S(S-1)}{6} sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Adım 1: Rao-Blackwell teoremi uyarınca iyileştirilmiş tahmin edicinin genel formunu belirlemek.
Sonuç: İyileştirilmiş tahmin edici T∗=E[T∣S]T^* = E[T|S] olarak tanımlanır.
Neden: Teorem, yansız bir tahmin edicinin yeterli bir istatistik üzerindeki koşullu beklenen değerinin varyansı küçülteceğini ifade eder.
2
Adım 2: Verilen T=X1X2T = X_1 X_2 ve S=X1+X2+X3S = X_1 + X_2 + X_3 değerlerini koşullu beklenti ifadesinde yerine koymak.
Sonuç: T∗=E[X1X2∣S=s]=P(X1=1,X2=1∣S=s)T^* = E[X_1 X_2 | S = s] = P(X_1=1, X_2=1 | S=s) ifadesi elde edilir.
Neden: Bernoulli değişkenleri için Xi2=XiX_i^2 = X_i olduğundan ve TT bir çarpım olduğundan, beklenti olasılığa eşittir.
3
Adım 3: Koşullu olasılık tanımını kullanarak ifadeyi hesaplamak ve sadeleştirmek.
Sonuç: E[X1X2∣S=s]=P(X1=1,X2=1,X3=s−2)P(S=s)=p2⋅(3−2s−2)ps−2(1−p)3−s(3s)ps(1−p)3−s=(1s−2)(3s)E[X_1 X_2 | S=s] = \frac{P(X_1=1, X_2=1, X_3=s-2)}{P(S=s)} = \frac{p^2 \cdot \binom{3-2}{s-2} p^{s-2} (1-p)^{3-s}}{\binom{3}{s} p^s (1-p)^{3-s}} = \frac{\binom{1}{s-2}}{\binom{3}{s}} hesaplanır. Bu oran s(s−1)3⋅2=s(s−1)6\frac{s(s-1)}{3 \cdot 2} = \frac{s(s-1)}{6} sonucuna eşittir.
Neden: XiX_i değişkenleri bağımsız ve özdeş dağılımlı (i.i.d.) Bernoulli olduğu için toplamları Binom dağılımı verir.

Key Concept

Rao-Blackwell Teoremi ve Koşullu Beklenti

Practice More

Benzer bir yöntemle X∼Poisson(λ)X \sim \text{Poisson}(\lambda) dağılımı için e−λe^{-\lambda} parametresinin Rao-Blackwell tahmin edicisini hesaplayarak karşılaştırma yapabilirsiniz.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Rao-Blackwell Teoremi

More questions from this topic