Bir meteoroloji istasyonunda, belirli bir bölgedeki günlük ortalama rüzgar hızı X ve günlü… — KPSS İstatistik

Bir meteoroloji istasyonunda, belirli bir bölgedeki günlük ortalama rüzgar hızı $X$ ve günlük ortalama nem oranı $Y$ rastgele değişkenleri ile modellenmektedir. Bu iki değişkenin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x,y) = \begin{cases} \frac{6}{5}(x^2 + y), & 0 < x < 1 \text{ ve } 0 < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, günlük ortalama nem oranının $\frac{1}{4}$ olduğu bilindiğinde, günlük ortalama rüzgar hızının beklenen değeri, yani $E\left[X \left| Y = \frac{1}{4}\right.\right]$ kaçtır?

A
$\frac{9}{20}$
B
$\frac{17}{35}$
C
$\frac{35}{54}$
D
$\frac{3}{5}$
$\frac{9}{14}$ Answer

Answer

\frac{9}{14}

Sürekli rastgele değişkenlerde koşullu beklenen değer hesaplanırken öncelikle ilgili koşul için

X

'in koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonu

f_{X|Y}(x|1/4) = \frac{f(x, 1/4)}{f_Y(1/4)}

formülüyle bulunmalıdır.

f_Y(1/4) = 7/10

olarak elde edildikten sonra, koşullu yoğunluk

f_{X|Y}(x|1/4) = \frac{12}{7}(x^2 + 1/4)

şeklini alır. Beklenen değer tanımından yola çıkarak, bu fonksiyon

x

ile çarpılıp tanım aralığı olan

0

ile

1

arasında integre edildiğinde sonuç

\frac{9}{14}

çıkar.

Step-by-Step Solution

y = \frac{1}{4}

için

Y

'nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu olan

f_Y(1/4)

değerini hesaplayın.

f_Y(1/4) = \int_0^1 f(x, 1/4) dx = \int_0^1 \frac{6}{5}\left(x^2 + \frac{1}{4}\right) dx = \frac{6}{5} \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x}{4} \right]_0^1 = \frac{6}{5} \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right) = \frac{6}{5} \cdot \frac{7}{12} = \frac{7}{10}

Koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulabilmek için paydada yer alacak olan marjinal yoğunluk değerine ihtiyaç vardır.

Y = \frac{1}{4}

verildiğinde

X

'in koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonu

f_{X|Y}(x|1/4)

ifadesini elde edin.

f_{X|Y}(x|1/4) = \frac{f(x, 1/4)}{f_Y(1/4)} = \frac{\frac{6}{5}\left(x^2 + \frac{1}{4}\right)}{\frac{7}{10}} = \frac{12}{7} \left(x^2 + \frac{1}{4}\right)

Koşullu beklenen değeri hesaplamak için bağımlı değişkene ait koşullu olasılık dağılımının yoğunluk kuralı kullanılmalıdır.

f_{X|Y}(x|1/4)

fonksiyonunu kullanarak

E\left[X \left| Y = \frac{1}{4}\right.\right]

değerini integral yardımıyla hesaplayın.

E\left[X \left| Y = \frac{1}{4}\right.\right] = \int_0^1 x \cdot \frac{12}{7} \left(x^2 + \frac{1}{4}\right) dx = \frac{12}{7} \int_0^1 \left(x^3 + \frac{x}{4}\right) dx = \frac{12}{7} \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{8} \right]_0^1 = \frac{12}{7} \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{8} \right) = \frac{12}{7} \cdot \frac{3}{8} = \frac{36}{56} = \frac{9}{14}

Sürekli rastgele değişkenlerde koşullu beklenen değer, değişkenin koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonu ile çarpılıp kendi tanım aralığında entegre edilmesiyle bulunur.

Key Concept

Sürekli Çok Değişkenli Dağılımlarda Koşullu Beklenen Değer

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics