Bir araştırmacı, kapalı bir kaptaki ideal gaz moleküllerinin hızlarını modellemek için Max… — KPSS İstatistik

Bir araştırmacı, kapalı bir kaptaki ideal gaz moleküllerinin hızlarını modellemek için Maxwell-Boltzmann dağılımını kullanmaktadır. Moleküllerin hızlarını temsil eden $X_1, X_2, \ldots, X_n$ rastgele örneklemi, olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x; \theta) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{x^2}{\theta^3} e^{-\frac{x^2}{2\theta^2}}, \quad x > 0

olan dağılımdan çekilmiştir. Burada $\theta > 0$ bilinmeyen bir ölçek parametresidir.

Araştırmacı, $\theta^2$ parametresi için bir güven aralığı oluşturmak amacıyla uygun bir eksen (pivot) fonksiyonu aramaktadır.

Buna göre, aşağıda verilen istatistiklerden ( $Q$ ) hangisi $\theta^2$ için uygun bir eksen fonksiyonudur ve tam dağılımı doğru verilmiştir?

$Q = \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^n X_i^2 \sim \chi^2_{3n}$ Answer
B
$Q = \sum_{i=1}^n X_i^2 \sim \text{Gamma}\left(\frac{3n}{2}, 2\theta^2\right)$
C
$Q = \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^n X_i^2 \sim \chi^2_{n}$
D
$Q = \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^n X_i^2 \sim \chi^2_{2n}$
E
$Q = \frac{\sqrt{n}(\bar{X} - \theta)}{S} \sim t_{n-1}$

Answer

İstatistiğin

\theta^2

'ye bölünmüş kareler toplamı olduğu ve

\chi^2_{3n}

dağılımına uyduğu seçenektir.

Bir fonksiyonun eksen (pivot) fonksiyonu olabilmesi için dağılımının bilinmeyen parametreden arındırılmış olması gerekir. Maxwell-Boltzmann dağılımında

y = x^2/\theta^2

dönüşümü yapıldığında Jacobian ile birlikte

Y \sim \chi^2_3

elde edilir. Örneklem

n

bağımsız birimden oluştuğundan, bu değişkenlerin toplamı

\chi^2_{3n}

dağılımına sahip olur. İfade

\theta^2

'yi içermekte ve dağılımı ondan bağımsız olmaktadır, bu nedenle doğru eksen fonksiyonudur.

Step-by-Step Solution

Eksen (pivot) fonksiyonunun tanımını hatırlamak.

Eksen fonksiyonu

Q(X, \theta)

, bilinmeyen parametreyi içermeli ancak sahip olduğu olasılık dağılımı bu parametreden tamamen bağımsız olmalıdır.

Seçenekleri analiz etmeden önce doğru stratejiyi kurgulamak.

Örneklemdeki her bir

X_i

için

Y = X^2/\theta^2

dönüşümünü uygulamak ve Jacobian bulmak.

y = x^2/\theta^2 \implies x = \theta \sqrt{y}

ve türevden

|dx/dy| = \frac{\theta}{2\sqrt{y}}

elde edilir.

Değişken dönüşümü tekniğiyle, parametreden arındırılmış yeni bir dağılım elde edip edemeyeceğimizi görmek.

Y

'nin olasılık yoğunluk fonksiyonunu

f_Y(y) = f_X(x) |dx/dy|

formülüyle hesaplamak.

f_Y(y) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{\theta^2 y}{\theta^3} e^{-y/2} \frac{\theta}{2\sqrt{y}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} y^{1/2} e^{-y/2}

. Bu,

3

serbestlik dereceli Ki-kare (

\chi^2_3

) dağılımının ta kendisidir.

Her bir gözlemin dönüşüm sonrası hangi tam dağılıma uyduğunu kanıtlamak.

Tüm örneklemi kapsayan toplam istatistiğinin dağılımını belirlemek.

Bağımsız Ki-kare değişkenlerinin toplamı, serbestlik derecelerinin toplamına eşittir. Bu nedenle

\sum Y_i = \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^n X_i^2 \sim \chi^2_{3n}

olur.

Örneklemin tümüne dayanan nihai eksen fonksiyonunu türetmek.

Key Concept

Eksen (Pivot) Fonksiyonu Yöntemi ve Dönüşümler

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic