Bir araştırmacı, bağımlı değişken Y ile iki açıklayıcı değişken (X_1 ve X_2) arasındaki il… — KPSS İstatistik

Bir araştırmacı, bağımlı değişken $Y$ ile iki açıklayıcı değişken ( $X_1$ ve $X_2$ ) arasındaki ilişkiyi incelerken, analize temel oluşturan gerçek veri üretme sürecinin aşağıdaki gibi olduğunu bilmemektedir:

Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \beta_2 X_{2i} + u_i

Ancak araştırmacı, $X_2$ değişkeninin modele dahil edilmesinin gerekli olduğunu gözden kaçırarak yalnızca $X_1$ değişkenini içeren aşağıdaki basit doğrusal regresyon modelini En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin etmiştir:

Y_i = \alpha_0 + \alpha_1 X_{1i} + v_i

Dışlanan $X_2$ değişkeninin $Y$ üzerinde gerçekte sıfırdan farklı bir etkisinin olduğu ( $\beta_2 \neq 0$ ) ve $X_1$ ile $X_2$ arasında sıfırdan farklı, tam olmayan doğrusal bir ilişki ( $0 < |r_{12}| < 1$ ) bulunduğu bilinmektedir.

Buna göre, tahmin edilen bu eksik modelin sonuçlarıyla ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

$\hat{\alpha}_1$ tahmin edicisi sapmalı ve tutarsızdır; ancak bu kısıtlı modeldeki tahmin edicinin varyansı, tüm değişkenleri içeren doğru modeldeki $\hat{\beta}_1$ tahmin edicisinin varyansından daha küçüktür.Answer
B
$\hat{\alpha}_1$ tahmin edicisi gerçek $\beta_1$ parametresinin sapmasız bir tahmin edicisi olmaya devam eder, ancak tahminin standart hatası artacağından etkinliğini kaybeder.
C
Kısıtlı modelden elde edilen hata varyansı tahmini, doğru modelin hata varyansını gerçekte olduğundan daha düşük (aşağı yönlü sapmalı) tahmin etme eğilimindedir.
D
EKK tahmininde ortaya çıkan spesifikasyon sapmasının yönü (pozitif veya negatif), $\beta_2$ parametresinin işaretinden bağımsız olup sadece $X_1$ ve $X_2$ arasındaki korelasyonun işaretine göre belirlenir.
E
$X_1$ ve $X_2$ değişkenleri arasındaki korelasyonun derecesi arttıkça, $\hat{\alpha}_1$ tahmin edicisindeki sapma miktarı azalır ve tahmin edici asimptotik olarak gerçek değere yakınsar.

Answer

Doğru seçenek, eksik belirlenmiş modeldeki tahmin edicinin sapmalı ve tutarsız olmasına rağmen varyansının doğru modeldeki tahmin edicinin varyansından daha küçük olduğunu belirten ifadedir.

Doğru modelde

\hat{\beta}_1

tahmin edicisinin varyansı

Var(\hat{\beta}_1) = \frac{\sigma^2}{\sum (X_{1i} - \bar{X}_1)^2 (1 - r_{12}^2)}

formülüyle hesaplanır. Eksik modelde ise dışlanan değişkenin etkisi nedeniyle varyans

Var(\hat{\alpha}_1) = \frac{\sigma^2}{\sum (X_{1i} - \bar{X}_1)^2}

olur.

X_1

X_2

arasında tam olmayan bir ilişki olduğu için (

0 < |r_{12}| < 1

), paydadaki

(1 - r_{12}^2)

çarpanı 1'den küçüktür. Bu matematiksel gerçek, doğru modelin varyansının eksik modelin varyansından her zaman daha büyük olmasına neden olur. Eksik belirleme durumunda katsayı tahmin edicisi sapmalı hale gelirken, varyansında bir azalma yaşanır. Bu fenomen ekonometride 'sapma-varyans ödünleşimi' (bias-variance trade-off) olarak adlandırılır.

Step-by-Step Solution

Eksik belirleme (omitted variable) hatasının sapma üzerindeki etkisini değerlendir.

Dışlanan değişken ile modelde kalan değişken ilişkili olduğundan ve dışlanan değişken bağımlı değişkeni etkilediğinden EKK tahmin edicisi (

\hat{\alpha}_1

) sapmalı ve tutarsızdır.

Modelin doğru spesifiye edilmemiş olması Gauss-Markov'un eksiksiz model varsayımını ihlal eder.

Tahmin edicilerin varyans formüllerini karşılaştır.

Doğru modelde varyans formülü paydasında

(1 - r_{12}^2)

çarpanı bulunurken, eksik modelin varyans formülünde bu çarpan yoktur.

Çoklu doğrusallık faktörü (VIF) olan

\frac{1}{1 - r_{12}^2}

terimi, değişken sayısı arttıkça ve değişkenler arası ilişki oldukça varyansı şişirir.

Matematiksel eşitsizliği kur ve sapma-varyans ödünleşimi bağlamında yorumla.

(1 - r_{12}^2)

değeri 1'den küçük pozitif bir sayı olduğu için, bu değere bölünmüş varyans (doğru model), bölünmemiş varyanstan (eksik model) kesinlikle daha büyüktür.

Eksik model sapma yaratırken, parametre tahmininin varyansını (değişkenliğini) düşürme eğilimindedir.

Key Concept

Eksik Belirleme ve Sapma-Varyans Ödünleşimi

Estimated Time:2m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics