Examkin

Question

Difficulty: MediumRao-Blackwell Teoremi

Bir kamu araştırma kurumunda, bir dijital hizmetin kullanıcılar tarafından benimsenme oranı pp (0<p<10 < p < 1) incelenmektedir. Rastgele seçilen nn (n≥2n \geq 2) kullanıcıdan elde edilen veriler X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n şeklinde olup, her bir gözlem pp parametreli Bernoulli dağılımına sahiptir. Araştırmacı, hizmetin iki farklı kullanıcı tarafından aynı anda benimsenme olasılığı olan p2p^2 parametresini tahmin etmek istemektedir. Bu amaçla W=X1X2W = X_1 X_2 yansız tahmin edicisi tanımlanmıştır.

Rao-Blackwell teoremi ve T=∑i=1nXiT = \sum_{i=1}^n X_i yeterli istatistiği kullanılarak elde edilen, p2p^2 için daha etkin (varyansı daha küçük veya eşit) olan yansız tahmin edici aşağıdakilerden hangisidir?

  1. T(T−1)n(n−1)\frac{T(T-1)}{n(n-1)}Answer
  2. B
    T2n2\frac{T^2}{n^2}
  3. C
    T(T−1)n2\frac{T(T-1)}{n^2}
  4. D
    Tn\frac{T}{n}
  5. E
    T2−Tn2−1\frac{T^2 - T}{n^2 - 1}

Answer

Rao-Blackwell teoremi kullanılarak elde edilen iyileştirilmiş yansız tahmin edici T(T−1)n(n−1)\frac{T(T-1)}{n(n-1)} ifadesidir.
Rao-Blackwell teoremi, yansız bir WW tahmin edicisinin yeterli bir TT istatistiği üzerine koşullandırılmasıyla elde edilen E[W∣T]E[W|T] değerinin hem yansız olduğunu hem de varyansının Var(W)Var(W)'den küçük veya eşit olduğunu belirtir. Bernoulli örnekleminde p2p^2 için seçilen X1X2X_1 X_2 yansızdır. Bu ifadenin ∑Xi=T\sum X_i = T toplamı üzerine koşullandırılması, hipergeometrik dağılım prensibiyle T(T−1)n(n−1)\frac{T(T-1)}{n(n-1)} sonucunu verir. Bu sonuç aynı zamanda Lehmann-Scheffe teoremi uyarınca UMVUE (En iyi yansız tahmin edici) olur.

Step-by-Step Solution

1
Başlangıç tahmin edicisinin yansızlığını kontrol etme
E[W]=E[X1X2]=E[X1]E[X2]=p⋅p=p2E[W] = E[X_1 X_2] = E[X_1]E[X_2] = p \cdot p = p^2
XiX_i gözlemleri bağımsız ve Bernoulli dağılımına sahip olduğundan beklenen değerleri pp'dir.
2
Koşullu beklenen değeri tanımlama
η=E[X1X2∣T=t]\eta = E[X_1 X_2 | T = t] hesaplanmalıdır.
Rao-Blackwell teoremi, yansız bir tahmin edicinin yeterli istatistik üzerine koşullu beklenen değerinin varyansının daha düşük olacağını garanti eder.
3
Koşullu olasılık hesabı yapma
E[X1X2∣T=t]=P(X1=1,X2=1∣∑Xi=t)=(n−2t−2)(nt)E[X_1 X_2 | T = t] = P(X_1=1, X_2=1 | \sum X_i = t) = \frac{\binom{n-2}{t-2}}{\binom{n}{t}}
İki gözlemin 1 olduğu bilindiğinde, kalan n−2n-2 gözlemden t−2t-2 tanesinin 1 olması olasılığı hipergeometrik mantıkla hesaplanır.
4
Kombinasyon ifadelerini sadeleştirme
(n−2)!(t−2)!(n−t)!⋅t!(n−t)!n!=t(t−1)n(n−1)\frac{(n-2)!}{(t-2)!(n-t)!} \cdot \frac{t!(n-t)!}{n!} = \frac{t(t-1)}{n(n-1)}
Faktöriyel terimler sadeleştiğinde p2p^2 için en küçük varyanslı yansız tahmin ediciye ulaşılır.

Key Concept

Rao-Blackwell Teoremi ve Koşullu Beklenen Değer

Alternative Method

Lehmann-Scheffe Teoremi kullanılarak da aynı sonuca varılabilir. Bernoulli dağılımı için T=∑XiT = \sum X_i tam (complete) ve yeterli bir istatistiktir. Bu istatistiğin bir fonksiyonu olan ve beklenen değeri p2p^2 olan tek bir tahmin edici vardır, o da Rao-Blackwell ile bulunan bu sonuçtur.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Rao-Blackwell Teoremi

More questions from this topic