Examkin

Question

Difficulty: EasyÇok Değişkenli Normal Dağılım

X=(X1,X2,X3)T\mathbf{X} = (X_1, X_2, X_3)^T rastgele vektörünün çok değişkenli normal dağılıma sahip olduğu ve varyans-kovaryans matrisinin (oldsymbol{\Sigma}) aşağıda verildiği bilinmektedir:

Σ=(2542436−32−349)\boldsymbol{\Sigma} = \begin{pmatrix} 25 & 4 & 2 \\ 4 & 36 & -3 \\ 2 & -3 & 49 \end{pmatrix}

Buna göre, X2X_2 rastgele değişkeninin standart sapması (σ2\sigma_2) kaçtır?

  1. 6Answer
  2. B
    36
  3. C
    5
  4. D
    7
  5. E
    4

Answer

Varyans-kovaryans matrisindeki σ22=36\sigma_{22} = 36 değerinin karekökü olan 6, X2X_2 değişkeninin standart sapmasıdır.
Çok değişkenli normal dağılımda Σ\boldsymbol{\Sigma} matrisinin köşegen elemanları olan σ11,σ22,…,σpp\sigma_{11}, \sigma_{22}, \dots, \sigma_{pp} değerleri her bir rastgele değişkenin varyansını verir. Verilen matriste ikinci değişken X2X_2 için köşegen elemanı (2. satır, 2. sütun) 36'dır. Standart sapma varyansın karekökü olduğu için 36=6\sqrt{36} = 6 sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Matris üzerinden X2X_2 değişkenine ait varyans değerini belirleyin.
σ22=Var(X2)=36\sigma_{22} = Var(X_2) = 36
Çok değişkenli normal dağılımın varyans-kovaryans matrisinde köşegen elemanlar (i. satır, i. sütun), ilgili XiX_i değişkeninin varyansını gösterir.
2
Varyans değerinden standart sapmaya geçiş yapın.
σ2=36=6\sigma_2 = \sqrt{36} = 6
Standart sapma, varyansın pozitif kareköküdür.

Key Concept

Varyans-kovaryans matrisinde köşegen elemanların (diag (Σ)(\Sigma)) varyans değerlerini temsil etmesi.

Alternative Method

Varyans-kovaryans matrisinin simetrik yapısı incelenerek Σ12=Σ21=4\Sigma_{12} = \Sigma_{21} = 4 olduğu görülür; bu bilgi marjinal dağılımın sadece tekil bir parametresine odaklanıldığında karıştırılmamalıdır.
Estimated Time:45s
Rate this question

Topics

Çok Değişkenli Normal Dağılım