Examkin

Question

Difficulty: Very hardK-Ortalamalar (K-Means) Yöntemi

Bir araştırmacı, K-Ortalamalar (K-Means) algoritmasını kullanarak sismik olayları sınıflandırmayı amaçlamaktadır. Analizde "Odak Derinliği" (X1X_1) ve "Açığa Çıkan Enerji" (X2X_2) olmak üzere iki sürekli değişken kullanılmaktadır. Veri setinin tamamı üzerinden hesaplanan standart sapmalar sırasıyla SX1=1S_{X_1} = 1 ve SX2=10S_{X_2} = 10 olarak elde edilmiştir.

Algoritmanın başlangıç aşamasında, veri setinde yer alan üç gözlem noktası P1(2,100)P_1(2, 100), P2(4,100)P_2(4, 100) ve P3(3,110)P_3(3, 110) olarak belirlenmiştir. Araştırmacı, ilk iterasyon için başlangıç küme merkezlerini M1=P1M_1 = P_1 ve M2=P3M_2 = P_3 olarak atamıştır.

Buna göre, Öklid uzaklığı kullanılarak yapılacak ilk kümeleme adımında P2P_2 noktasının atanacağı küme ile ilgili, veri setinin ham haliyle kullanılması ve Z-skoru ile standartlaştırılarak kullanılması durumlarındaki matematiksel sonuçlar aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru verilmiştir?

  1. Veriler standartlaştırılmadığında X2X_2 değişkeni uzaklık hesabını domine ettiği için P2P_2 noktası M1M_1 merkezli kümeye atanır; standartlaştırma yapıldığında ise varyanslar eşitleneceğinden P2P_2 noktası M2M_2 merkezli kümeye atanır.Answer
  2. B
    Hem standartlaştırılmamış ham verilerle hem de Z-skoru dönüşümü sonrasında P2P_2 noktasının M1M_1 merkezine olan uzaklığı daha kısa çıkacağından, standartlaştırma işlemi atama sonucunu değiştirmez ve nokta her iki durumda da M1M_1 merkezli kümeye atanır.
  3. C
    K-Ortalamalar algoritması atama yapabilmek için kategorik bir bağımlı (grup) değişkene ihtiyaç duyduğundan, veriler standartlaştırılsın veya standartlaştırılmasın P2P_2 noktası için uzaklık temelli geçerli bir küme ataması yapılamaz.
  4. D
    Veriler standartlaştırılmadığında, X1X_1 değişkenindeki mutlak fark daha küçük olduğu için P2P_2 noktası M2M_2 merkezli kümeye atanır; standartlaştırma uygulandığında ise değişken etkileri sıfırlanacağından M1M_1 merkezli kümeye atanır.
  5. E
    Standartlaştırma öncesinde X2X_2 değişkeninin yüksek varyansı P2P_2 noktasını ağırlıklı olarak M2M_2 merkezli kümeye çekerken; standartlaştırma sonrasında tüm değişkenler eşit ağırlığa sahip olacağı için atama rastgele yapılır.

Answer

Standartlaştırma yapılmadığında yüksek varyanslı X2 değişkeni uzaklık hesabını domine ederek P2'yi M1'e atar; Z-skoru standartlaştırması yapıldığında varyanslar eşitlenir ve P2 noktası M2'ye atanır.
K-Ortalamalar algoritması, atama adımında doğrudan Öklid uzaklığını kullandığı için değişkenlerin ölçek büyüklüklerine karşı oldukça hassastır. Ham verilerde X2X_2 değişkeninin varyansı (SX2=10S_{X_2}=10, karesel etkisi 100) çok büyüktür. Bu durum uzaklık hesabını domine eder ve P2P_2 noktasını X2X_2 değeri tıpatıp aynı olan M1M_1 merkezine atar. Ancak değişkenler Z-skoru ile standartlaştırıldığında, standart sapmalara bölünme işlemi her iki değişkenin algoritma üzerindeki etkisini eşitler. Bu durum X1X_1 eksenindeki gerçek yakınlığı ortaya çıkarır ve P2P_2 noktası matematiksel olarak M2M_2 merkezine daha yakın (2<42 < 4) konuma gelerek atama sonucu değişir.

Step-by-Step Solution

1
Standartlaştırma yapılmadan (ham verilerle) P2 noktasının M1 ve M2 merkezlerine olan Öklid uzaklıklarının karesini hesaplamak
d2(P2,M1)=(4−2)2+(100−100)2=4+0=4d^2(P_2, M_1) = (4-2)^2 + (100-100)^2 = 4 + 0 = 4
d2(P2,M2)=(4−3)2+(100−110)2=1+100=101d^2(P_2, M_2) = (4-3)^2 + (100-110)^2 = 1 + 100 = 101
K-Ortalamalar algoritması atama adımında her gözlemi en yakın merkeze atar. 4<1014 < 101 olduğundan ham veride P2P_2 noktası M1M_1'e atanır.
2
Verileri standartlaştırarak (Z-skoru dönüşümü ile) yeni uzaklıkları hesaplamak
ZZ dönüşümü sonrası uzaklık hesabı değişken varyanslarına bölünerek yapılır: dz2=(ΔX1SX1)2+(ΔX2SX2)2d_z^2 = \left(\frac{\Delta X_1}{S_{X_1}}\right)^2 + \left(\frac{\Delta X_2}{S_{X_2}}\right)^2
dz2(P2,M1)=(2/1)2+(0/10)2=4d_z^2(P_2, M_1) = (2/1)^2 + (0/10)^2 = 4
dz2(P2,M2)=(1/1)2+(−10/10)2=1+1=2d_z^2(P_2, M_2) = (1/1)^2 + (-10/10)^2 = 1 + 1 = 2
Standartlaştırma, her iki değişkenin varyans etkisini eşitleyerek X2X_2'nin (100 birimlik) haksız baskınlığını ortadan kaldırır. 2<42 < 4 olduğundan standartlaştırılmış uzayda P2P_2 noktası M2M_2'ye atanır.

Key Concept

K-Ortalamalar algoritmasında değişkenlerin ölçek farklılıklarının Öklid uzaklık matrisine ve dolayısıyla küme atamalarına olan asimetrik etkisi (Standardizasyonun önemi).
Rate this question

Topics

K-Ortalamalar (K-Means) Yöntemi

More questions from this topic