Examkin

Question

Difficulty: MediumGeometrik Yorum ve Diklik (Ortogonallik) Özelliği

Bir araştırmacı, pp adet birbiriyle ilişkili değişkenden oluşan çok değişkenli normal dağılımlı bir veri setini analiz etmektedir. Orijinal koordinat sisteminde, veri noktalarının oluşturduğu saçılım grafiği (veri bulutu), eksenlere göre eğik konumlanmış bir pp-boyutlu hiper-elipsoit şeklindedir.

Araştırmacı, Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulayarak orijinal değişken uzayından yeni bir bileşen uzayına geçiş yapmıştır.

Bu dönüşüm işleminin geometrik doğası ve elde edilen bileşenlerin yapısal özellikleri dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

  1. Koordinat sistemi, veri elipsoidinin asal eksenleriyle çakışacak biçimde katı bir dönme (rigid rotation) işlemine tabi tutulur; eksenlerin dikliği (ortogonallik) ise yeni bileşenlerin korelasyonsuz olmasını sağlar.Answer
  2. B
    Veri setindeki yapısal varyansı daha iyi açıklayabilmek için, yeni eksenler veri bulutunun yoğunluğuna göre birbirleriyle dar veya geniş açılar yapacak şekilde eğik (oblique) olarak konumlandırılır.
  3. C
    Geometrik dönüşüm sonucunda birinci bileşen ekseni uzatıldığı için, bu bileşene karşılık gelen özdeğerin büyüklüğü orijinal değişkenlerin toplam varyans miktarını aşar.
  4. D
    Yeni eksen uzayını oluşturan yön matrisinin determinantı sıfır olduğundan, boyut indirgeme işlemi tamamlandığında sistemdeki toplam varyans (matrisin izi) orijinaline göre azalma gösterir.
  5. E
    Oluşturulan yeni koordinat eksenleri, gözlenen değişkenlerin arkasında yatan ve birbirleriyle doğal bir korelasyona sahip olan gizil (latent) faktörleri geometrik olarak temsil eder.

Answer

Doğru seçenek, koordinat sisteminin elipsoidin asal eksenlerine oturacak biçimde katı bir dönme yaptığını ve eksenlerin dikliğinin bileşenleri korelasyonsuz hale getirdiğini ifade eden seçenektir.
Temel Bileşenler Analizi geometrik olarak, orijinal değişken eksenlerinin katı bir dönme (rigid rotation) işlemiyle veri elipsoidinin asal eksenlerine paralel hale getirilmesidir. Bu işlemde kullanılan dönüşüm matrisi ortogonaldir (dik). Eksenlerin birbirine dik (ortogonal) kalması, yansıtılan yeni değişkenlerin, yani temel bileşenlerin kovaryans matrisinin köşegen (diagonal) olmasını sağlar. Bu da bileşenlerin tamamen korelasyonsuz (ilişkisiz) olduğu anlamına gelir.

Step-by-Step Solution

1
Temel Bileşenler Analizi'nin (TBA) geometrik amacını tanımlamak.
TBA, çok değişkenli uzaydaki veri elipsoidinin varyansının en geniş olduğu yönleri (asal eksenleri) bularak yeni bir koordinat sistemi oluşturur.
Değişken sayısını azaltırken, veri setindeki toplam varyans kaybını minimum düzeyde tutabilmek.
2
Orijinal eksenlerden yeni eksenlere geçişin matematiksel ve geometrik yapısını değerlendirmek.
Geçişte kullanılan özvektörler matrisi ortogonal (dik) bir matristir. Ortogonal matrisle çarpım işlemi, geometrik olarak uzayın şeklini bozmadan sadece orijin etrafında katı bir döndürme (rigid rotation) yapılması anlamına gelir.
Ortogonal dönüşümler uzunlukları ve açıları koruduğu için veri yapısının toplam varyansı (hacmi ve izi) değişmez.
3
Ortogonallik (diklik) özelliğinin istatistiksel sonucunu belirlemek.
Yeni koordinat eksenlerinin birbirine 90∘90^{\circ} tam dik olması, bu eksenlere izdüşürülen yeni değişkenlerin (temel bileşenlerin) birbiriyle sıfır kovaryansa sahip olmasını sağlar.
Bileşenler arası korelasyonun sıfır olması, her bir bileşenin verideki farklı ve bağımsız bir bilgiyi (varyansı) taşımasını garanti eder.

Key Concept

Temel Bileşenler Analizinde Geometrik Dönüşüm ve Diklik
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Geometrik Yorum ve Diklik (Ortogonallik) Özelliği

More questions from this topic