Examkin

Question

Difficulty: MediumDurumların Sınıflandırılması ve Sınır (Kararlı Durum) Olasılıkları

Devlet Malzeme Ofisi (DMO) lojistik merkezinde kullanılan otonom taşıma robotlarının günlük çalışma durumları bir Markov zinciri ile modellenmektedir. Bir robotun herhangi bir gün sonunda "Aktif" (1. durum) veya "Şarj/Bakım" (2. durum) durumlarında olabildiği gözlemlenmiştir.

Bu sisteme ait günlük geçiş olasılıkları matrisi (PP) aşağıda verilmiştir:

P=[0,850,150,450,55] P = \begin{bmatrix} 0,85 & 0,15 \\ 0,45 & 0,55 \end{bmatrix}

Buna göre, sistemin uzun dönemdeki (kararlı durum) davranışında bir robotun "Aktif" durumda bulunma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    0,25
  2. B
    0,33
  3. C
    0,50
  4. 0,75Answer
  5. E
    0,85

Answer

Sistemin kararlı durumda "Aktif" olma olasılığı 0,75'tir.
Sistemin kararlı durum olasılıkları (π1,π2\pi_1, \pi_2), sol özvektör denklemi olan πP=π\pi P = \pi eşitliği ve π1+π2=1\pi_1 + \pi_2 = 1 normalizasyon koşulu kullanılarak bulunur. Matris denklemi çözüldüğünde π1=3π2\pi_1 = 3\pi_2 eşitliği elde edilir. Bu eşitlik normalizasyon koşulunda yerine yazıldığında, π2=0,25\pi_2 = 0,25 ve π1=0,75\pi_1 = 0,75 değerlerine ulaşılır. 'Aktif' durum sistemsel olarak 1. durum olduğundan aranan cevap 0,75'tir.

Step-by-Step Solution

1
Kararlı durum (steady-state) olasılık vektörünü π=[π1,π2]\pi = [\pi_1, \pi_2] olarak tanımlayın ve πP=π\pi P = \pi denklemini kurun.
π1=0,85π1+0,45π2\pi_1 = 0,85\pi_1 + 0,45\pi_2 ve π2=0,15π1+0,55π2\pi_2 = 0,15\pi_1 + 0,55\pi_2 denklemleri elde edilir.
Kararlı durumda (uzun dönemde) sistemin durum olasılıkları değişmez, bu nedenle olasılık vektörünün geçiş matrisi ile çarpımı yine kendisine eşit olmalıdır.
2
İlk denklemi sadeleştirerek π1\pi_1 ve π2\pi_2 arasındaki doğrusal ilişkiyi bulun.
π1−0,85π1=0,45π2  ⟹  0,15π1=0,45π2  ⟹  π1=3π2\pi_1 - 0,85\pi_1 = 0,45\pi_2 \implies 0,15\pi_1 = 0,45\pi_2 \implies \pi_1 = 3\pi_2 oranı bulunur.
Değişken sayısını teke düşürmek ve durum olasılıklarını birbiri cinsinden ifade etmek için denklem çözümlenmelidir.
3
Olasılıkların toplamının 1 olması kuralını (normalizasyon şartı) uygulayarak π2\pi_2 değerini hesaplayın.
π1+π2=1  ⟹  3π2+π2=1  ⟹  4π2=1  ⟹  π2=0,25\pi_1 + \pi_2 = 1 \implies 3\pi_2 + \pi_2 = 1 \implies 4\pi_2 = 1 \implies \pi_2 = 0,25 elde edilir.
Tüm geçerli olasılık dağılımlarında, olası tüm durumların sınır olasılıklarının toplamı mutlak surette 1'e eşit olmalıdır.
4
Bulunan π2\pi_2 değerini kullanarak 'Aktif' durum (1. durum) için π1\pi_1 olasılığını hesaplayın.
π1=3×0,25=0,75\pi_1 = 3 \times 0,25 = 0,75 olarak bulunur.
Soruda robotun uzun dönemde 'Aktif' (1. durum) olma olasılığı sorulduğu için π1\pi_1 değerinin elde edilmesi hedeflenmiştir.

Key Concept

Sınır (Kararlı Durum) Olasılıklarının Hesaplanması

Alternative Method

2x2 bir Markov matrisi P=[1−aab1−b]P = \begin{bmatrix} 1-a & a \\ b & 1-b \end{bmatrix} formatındaysa, 1. durumun kararlı durum olasılığı kısa yoldan π1=ba+b\pi_1 = \frac{b}{a+b} formülü ile hesaplanabilir. Burada a=0,15a = 0,15 ve b=0,45b = 0,45'tir. Formülde yerine yazarsak π1=0,450,15+0,45=0,450,60=0,75\pi_1 = \frac{0,45}{0,15 + 0,45} = \frac{0,45}{0,60} = 0,75 bulunur.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Durumların Sınıflandırılması ve Sınır (Kararlı Durum) Olasılıkları