Bir araştırmacı, bağımlı değişken Y ile bağımsız değişken X_2 arasındaki ilişkiyi tahmin e… — KPSS İstatistik

Bir araştırmacı, bağımlı değişken $Y$ ile bağımsız değişken $X_2$ arasındaki ilişkiyi tahmin etmek amacıyla kurduğu modele, teorik olarak modelde yer almaması gereken ve $Y$ üzerinde hiçbir sistematik etkisi bulunmayan $X_3$ değişkenini de ekleyerek "aşırı belirlenmiş" (over-specified) bir model tahmin etmiştir. Bu durumda elde edilen En Küçük Kareler (EKK) tahmin edicilerinin özellikleri hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Tahmin ediciler sapmasızlık özelliğini korurlar ancak varyansları arttığı için etkinliklerini kaybeder ve daha geniş güven aralıkları üretirler.Answer
B
Gereksiz değişkenin modele dahil edilmesi, katsayı tahmin edicilerinin sapmalı (biased) hale gelmesine ve dolayısıyla t-testlerinin her zaman anlamlı çıkmasına neden olur.
C
Düzeltilmiş belirtme katsayısı ( $\bar{R}^2$ ), modele eklenen bu gereksiz değişken sonucunda normal belirtme katsayısı ( $R^2$ ) gibi her zaman artış gösterir.
D
Hata terimi varyansının tahmini ( $\hat{\sigma}^2$ ) sapmalı hale gelir ve bu durum regresyonun standart hatasının yanlış hesaplanmasına yol açar.
E
Gereksiz değişken eklenmesi durumunda tahmin ediciler hala Gauss-Markov anlamında "En İyi Doğrusal Sapmasız Tahmin Edici" (BLUE) olma özelliğini sürdürürler.

Answer

Tahmin ediciler sapmasızlık özelliğini korurlar ancak varyansları arttığı için etkinliklerini kaybeder ve daha geniş güven aralıkları üretirler.

Aşırı belirleme (over-specification) hatasında, modelde bulunmaması gereken bir değişkenin eklenmesi, tahmin edilecek parametre sayısını gereksiz yere artırır. Bu durum serbestlik derecesini düşürür ve bağımsız değişkenler arasındaki korelasyon yapısını karmaşıklaştırarak katsayıların varyanslarının büyümesine (şişmesine) yol açar. Sonuç olarak tahmin ediciler sapmasız kalsa da, artık en küçük varyansa sahip olmadıkları için etkinliklerini kaybederler ve istatistiksel olarak daha az kesin sonuçlar üretirler.

Step-by-Step Solution

Modelin yapısını tanımla.

Doğru model

Y = \beta_1 + \beta_2 X_2 + u

iken tahmin edilen model

Y = \beta_1 + \beta_2 X_2 + \beta_3 X_3 + v

şeklindedir (burada

\beta_3 = 0

Aşırı belirleme hatasının matematiksel çerçevesini oluşturmak için.

Sapmasızlık (Unbiasedness) özelliğini kontrol et.

E[\hat{\beta}_2] = \beta_2

eşitliği hala geçerlidir.

Gereksiz değişken eklemek modelin beklenen değerini bozmaz, bu nedenle tahmin ediciler sapmasız kalır.

Varyans ve Etkinlik (Efficiency) durumunu incele.

Var(\hat{\beta}_{2, \text{aşırı}}) > Var(\hat{\beta}_{2, \text{doğru}})

olduğu görülür.

Modele eklenen her bağımsız değişken (ilgili değişkenlerle korelasyonu olmasa bile) çoklu doğrusal bağlantı riskini artırır ve serbestlik derecesini azaltarak varyansın şişmesine (efficiency loss) neden olur.

Güven aralıkları ve hipotez testleri üzerindeki etkiyi belirle.

Varyans arttığı için standart hatalar büyür, t-istatistikleri küçülür ve güven aralıkları genişler.

Varyanstaki artışın istatistiksel çıkarımlar üzerindeki doğrudan sonucudur.

Key Concept

Aşırı belirleme (overspecification) durumunda OLS tahmin edicileri sapmasız (unbiased) ve tutarlıdır (consistent), ancak etkin (efficient) değillerdir.

Practice More

Eksik belirleme (omitted variable bias) durumunda sapmasızlık ve varyans özelliklerinin nasıl değiştiğini inceleyerek iki hatayı karşılaştırınız.

Estimated Time:1m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Topics