Examkin

Question

Difficulty: MediumPivot (Eksen) Fonksiyonu Yöntemi

Bir tekstil fabrikasında üretilen ipliklerin kopma mukavemetinin (Newton) N(μ,σ2)N(\mu, \sigma^2) dağılımına uygun olduğu bilinmektedir. Fabrika standartlarına göre mukavemet ortalaması μ=200\mu = 200 Newton olarak kesin bir şekilde sabitlenmiştir. Kalite kontrol sorumlusu, üretim sürecindeki değişkenliği kontrol etmek amacıyla varyans (σ2\sigma^2) parametresi için bir güven aralığı hesaplamak istemektedir. nn birimlik bir tesadüfi örneklem (X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n) seçildiğinde, σ2\sigma^2 parametresi için güven aralığı oluşturmada kullanılabilecek ve **serbestlik derecesi nn olan ki-kare (χn2\chi^2_n) dağılımına sahip** pivot (eksen) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

  1. Q=∑i=1n(Xi−200)2σ2Q = \frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i - 200)^2}{\sigma^2}Answer
  2. B
    Q=∑i=1n(Xi−Xˉ)2σ2Q = \frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2}{\sigma^2}
  3. C
    Q=(n−1)S2σ2Q = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}
  4. D
    Q=Xˉ−200σ/nQ = \frac{\bar{X} - 200}{\sigma / \sqrt{n}}
  5. E
    Q=∑i=1n(Xi−200)σQ = \frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i - 200)}{\sigma}

Answer

Varyans parametresi için kitle ortalamasının bilindiği durumda kullanılan pivot fonksiyonu ∑(Xi−μ)2σ2\frac{\sum (X_i - \mu)^2}{\sigma^2} şeklindedir.
Kitle ortalaması μ\mu bilindiğinde, her bir gözlemden bilinen bu sabit değer çıkarılıp standart sapmaya bölündüğünde elde edilen standart normal değişkenlerin (ZiZ_i) kareleri toplamı, gözlem sayısı olan nn serbestlik dereceli bir ki-kare dağılımı üretir. Bu durumda σ2\sigma^2 paydada yer aldığı için bu fonksiyon bir pivot fonksiyonudur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen dağılım ve parametrelerin belirlenmesi
X∼N(μ,σ2)X \sim N(\mu, \sigma^2) ve μ=200\mu = 200 (biliniyor).
Pivot fonksiyonu seçimi, kitle parametrelerinden hangilerinin bilindiğine göre değişir.
2
Değişkenlerin standartlaştırılması
Zi=Xi−200σ∼N(0,1)Z_i = \frac{X_i - 200}{\sigma} \sim N(0, 1)
Ki-kare dağılımı, standart normal değişkenlerin karelerinin toplamı olarak tanımlanır.
3
Kareler toplamının dağılımının bulunması
∑i=1nZi2=∑i=1n(Xi−200σ)2=∑(Xi−200)2σ2∼χn2\sum_{i=1}^{n} Z_i^2 = \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{X_i - 200}{\sigma} \right)^2 = \frac{\sum (X_i - 200)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_n
Bağımsız nn adet standart normal değişkenin kareleri toplamı, nn serbestlik dereceli ki-kare dağılımı verir.

Key Concept

Pivot (Eksen) Fonksiyonu Tanımı ve Dağılımı

Hints

1
Bir fonksiyonun pivot olabilmesi için dağılımının bilinmeyen parametreye bağlı olmaması gerekir.
2
Normal dağılımdan gelen örneklemlerde varyans için güven aralığı oluşturulurken genellikle ki-kare dağılımından yararlanılır.
3
Kitle ortalaması biliniyorsa serbestlik derecesinde bir azalma olmaz, nn olarak kalır.

Practice More

Ortalamanın bilinmediği durumda pivot fonksiyonunun nasıl değiştiğini ve serbestlik derecesindeki farkın nedenini inceleyin.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Pivot (Eksen) Fonksiyonu Yöntemi

More questions from this topic