Examkin

Question

Difficulty: Very hardFaktöriyel Deney Tasarımları

Bir kimya mühendisi, bir polimerin dayanımını optimize etmek amacıyla üç farklı faktörün (A: Sıcaklık, B: Basınç, C: Katalizör Oranı) etkilerini incelemek için n=3n=3 tekrarlı 232^3 tam faktöriyel deney tasarımı uygulamıştır. Toplam gözlem sayısı 24'tür.

Mühendis, verilerin analizi sonucunda faktörlerin ve etkileşimlerinin etki (effect) tahminlerini aşağıdaki gibi hesaplamıştır:
- AA etkisi = 4
- BB etkisi = -3
- CC etkisi = 2
- ABAB etkileşimi = 2
- ACAC etkileşimi = -1
- BCBC etkileşimi = 1
- ABCABC etkileşimi = 3

Deneye ilişkin Genel Kareler Toplamı (Genel KTGenel\ KT) 424 olarak verilmiştir.

Buna göre, ABCABC üçlü etkileşiminin anlamlılığını test etmek için kullanılacak FF-test istatistiğinin değeri kaçtır?

  1. A
    1,48
  2. B
    2,36
  3. C
    3,46
  4. 5,40Answer
  5. E
    7,76

Answer

ABC üçlü etkileşimine ait F-test istatistiğinin değeri 5,40'tır.
Verilen etki tahminlerinden Kareler Toplamına (KT) geçiş formülü KT=Etki2⋅n⋅2k−2KT = \text{Etki}^2 \cdot n \cdot 2^{k-2} şeklindedir. Burada k=3k=3 ve n=3n=3 olduğundan çarpan 66'dır. Etkileşimler de dahil tüm etkilerin kareleri alınarak 66 ile çarpıldığında, sırasıyla 96, 54, 24, 24, 6, 6 ve 54 değerleri bulunur. Tüm bunların toplamı Model KT'yi verir (264264). Genel KT 424424 olduğuna göre, Hata KT 424−264=160424 - 264 = 160 olur. Toplam 23⋅3=242^3 \cdot 3 = 24 gözlem vardır; 23=82^3 = 8 hücre olduğundan Hata serbestlik derecesi 24−8=1624 - 8 = 16'dır. Hata Kareler Ortalaması 160/16=10160 / 16 = 10'dur. ABC etkileşiminin kareler toplamı 5454 ve serbestlik derecesi 11 olduğu için KO değeri de 5454'tür. F=54/10=5,40F = 54 / 10 = 5,40 değeri elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
2k2^k faktöriyel tasarımlarda Etki (Effect) değerinden Kareler Toplamı (KTKT) hesaplama çarpanını belirleme.
Çarpan =n⋅2k−2=3⋅23−2=3⋅2=6= n \cdot 2^{k-2} = 3 \cdot 2^{3-2} = 3 \cdot 2 = 6 olarak bulunur.
Bir etkinin kareler toplamı formülü KT=Etki2⋅n⋅2k−2KT = \text{Etki}^2 \cdot n \cdot 2^{k-2} şeklindedir.
2
Verilen etki tahminlerini kullanarak her bir faktör ve etkileşim için Kareler Toplamlarını hesaplama.
KTA=6⋅42=96KT_A = 6 \cdot 4^2 = 96
KTB=6⋅(−3)2=54KT_B = 6 \cdot (-3)^2 = 54
KTC=6⋅22=24KT_C = 6 \cdot 2^2 = 24
KTAB=6⋅22=24KT_{AB} = 6 \cdot 2^2 = 24
KTAC=6⋅(−1)2=6KT_{AC} = 6 \cdot (-1)^2 = 6
KTBC=6⋅12=6KT_{BC} = 6 \cdot 1^2 = 6
KTABC=6⋅32=54KT_{ABC} = 6 \cdot 3^2 = 54
Model Kareler Toplamını bulmak için sistemdeki tüm etkilerin kareler toplamlarının bilinmesi gerekir.
3
Model Kareler Toplamını (Model KTModel\ KT) bulma.
Model KT=96+54+24+24+6+6+54=264Model\ KT = 96 + 54 + 24 + 24 + 6 + 6 + 54 = 264 elde edilir.
Ortogonal tasarımlarda Model Kareler Toplamı, tüm temel ve etkileşim etkilerinin kareler toplamlarının ardışık toplamına eşittir.
4
Hata Kareler Toplamını (Hata KTHata\ KT) hesaplama.
Hata KT=Genel KT−Model KT=424−264=160Hata\ KT = Genel\ KT - Model\ KT = 424 - 264 = 160 bulunur.
ANOVA tablosunun eklenebilirlik varsayımı gereği Genel KT=Model KT+Hata KTGenel\ KT = Model\ KT + Hata\ KT'dir.
5
Hata Serbestlik Derecesini (sdHatasd_{Hata}) ve Hata Kareler Ortalamasını (Hata KOHata\ KO) bulma.
Toplam gözlem N=24N=24. sdGenel=23sd_{Genel} = 23, sdModel=23−1=7sd_{Model} = 2^3 - 1 = 7.
sdHata=23−7=16sd_{Hata} = 23 - 7 = 16.
Hata KO=160/16=10Hata\ KO = 160 / 16 = 10 olarak elde edilir.
FF istatistiğinin paydasını oluşturan Hata Kareler Ortalamasına (MSE) ulaşmak gereklidir.
6
ABC etkileşimi için F-test istatistiğini hesaplama.
KOABC=KTABC/1=54/1=54KO_{ABC} = KT_{ABC} / 1 = 54 / 1 = 54.
FABC=KOABC/Hata KO=54/10=5,40F_{ABC} = KO_{ABC} / Hata\ KO = 54 / 10 = 5,40 bulunur.
Bir etkinin anlamlılığı, o etkinin Kareler Ortalamasının Hata Kareler Ortalamasına oranlanmasıyla test edilir.

Key Concept

Faktöriyel Deney Tasarımlarında Etki Tahminlerinden ANOVA Değerlerinin Elde Edilmesi
Rate this question

Topics

Faktöriyel Deney Tasarımları

More questions from this topic