Examkin

Question

Difficulty: Very hardOran Tahminleyicisinin Etkinliği ve Koşulları

Bir üniversitenin eğitim araştırmaları merkezi, okullardaki öğrenci başına düşen kütüphane kitap sayısını tahmin etmek amacıyla bir örnekleme tasarımı yapmaktadır. Okullardaki toplam kitap sayısı (yy) ile toplam öğrenci sayısı (xx) arasındaki ilişki incelenmiştir. Kitle genelinde ilgilenilen değişkenin (yy) yardımcı değişken (xx) üzerine doğrusal regresyon katsayısının β\beta ve kitle oran parametresinin R=YˉXˉR = \frac{\bar{Y}}{\bar{X}} olduğu bilinmektedir. (Xi>0,Yi>0)(X_i > 0, Y_i > 0)

Araştırmada hesaplanacak olan oran tahminleyicisinin (yˉR\bar{y}_R), yardımcı değişkenin kullanılmadığı basit rastgele örnekleme ortalamasına (yˉ\bar{y}) kıyasla kesinlikle daha küçük bir varyansa sahip olması (daha etkin olması) için β\beta ile RR parametreleri arasında teorik olarak aşağıdaki eşitsizliklerden hangisinin bulunması zorunludur?

  1. β>R2\beta > \frac{R}{2}Answer
  2. B
    β>2R\beta > 2R
  3. C
    β>R\beta > R
  4. D
    β<R2\beta < \frac{R}{2}
  5. E
    β>12R\beta > \frac{1}{2R}

Answer

Oran tahminleyicisinin daha etkin olmasını garanti eden eşitsizlik β>R2\beta > \frac{R}{2} olmalıdır.
Oran tahminleyicisinin basit rastgele örneklemeye göre daha küçük bir varyansa sahip olabilmesi için değişkenler arası korelasyonun ρ>Cx2Cy\rho > \frac{C_x}{2C_y} koşulunu sağlaması gerekir. Bu formülde CxC_x ve CyC_y yerine SxXˉ\frac{S_x}{\bar{X}} ve SyYˉ\frac{S_y}{\bar{Y}} yazılıp, eşitsizliğin her iki tarafı SySx\frac{S_y}{S_x} ile çarpıldığında, kitle regresyon katsayısı olan β\beta'nın, kitle oran parametresi RR'nin yarısından kesinlikle büyük olması gerektiği (β>R2\beta > \frac{R}{2}) ispatlanmış olur.

Step-by-Step Solution

1
Oran tahminleyicisinin basit rastgele örnekleme (BRO) ortalamasından daha etkin olması için gereken temel korelasyon koşulunu yaz.
Koşul: ρ>Cx2Cy\rho > \frac{C_x}{2C_y}
Varyans formüllerinin karşılaştırılmasından (V(yˉR)<V(yˉ)V(\bar{y}_R) < V(\bar{y})) elde edilen bilinen teorik eşitsizliktir.
2
Değişim katsayılarını (CxC_x ve CyC_y) kitle standart sapmaları ve kitle ortalamaları cinsinden ifade et.
Cx=SxXˉC_x = \frac{S_x}{\bar{X}} ve Cy=SyYˉC_y = \frac{S_y}{\bar{Y}}
Formülü regresyon katsayısı (β\beta) ve kitle oranına (RR) dönüştürebilmek için varyans ve ortalama bileşenlerine ayırmak gerekir.
3
Açılımları etkinlik eşitsizliğinde yerine koy ve düzenle.
ρ>Sx/Xˉ2(Sy/Yˉ)  ⟹  ρ>12SxSyYˉXˉ\rho > \frac{S_x / \bar{X}}{2(S_y / \bar{Y})} \implies \rho > \frac{1}{2} \frac{S_x}{S_y} \frac{\bar{Y}}{\bar{X}}
Kesirleri düzenleyerek β\beta ve RR parametrelerini oluşturacak terimleri bir araya getirmek.
4
Eşitsizliğin her iki tarafını SySx\frac{S_y}{S_x} ile çarp ve elde edilen terimleri β\beta ve RR cinsinden tanımla.
ρSySx>12YˉXˉ\rho \frac{S_y}{S_x} > \frac{1}{2} \frac{\bar{Y}}{\bar{X}} elde edilir. Burada β=ρSySx\beta = \rho \frac{S_y}{S_x} ve R=YˉXˉR = \frac{\bar{Y}}{\bar{X}} olduğu için β>R2\beta > \frac{R}{2} sonucuna ulaşılır.
Kitle regresyon katsayısı ile oran parametresi arasındaki nihai teorik bağıntıyı elde etmek.

Key Concept

Oran Tahminleyicisinin Etkinliği ve Regresyon Katsayısı İlişkisi
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Oran Tahminleyicisinin Etkinliği ve Koşulları

More questions from this topic