Bir finansal risk analizi modelinde, bir yatırım portföyünün piyasa dalgalanmalarına karşı… — KPSS İstatistik

Bir finansal risk analizi modelinde, bir yatırım portföyünün piyasa dalgalanmalarına karşı duyarlılığını ölçen $X$ ve piyasa oynaklık endeksini temsil eden $Y$ sürekli rastgele değişkenlerinin ortak (eşanlı) olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

f(x,y) = \begin{cases} 15x^2y, & 0 < x < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Bu modelde, Toplam Varyans Kuralı (Law of Total Variance) bağlamında portföyün risk bileşenleri incelenmektedir.

Buna göre, $X$ 'in $Y=y$ verildiğindeki koşullu varyansı $Var(X|Y=y)$ ile $X$ 'in toplam varyansının koşullu varyanslar yardımıyla hesaplanan bileşeni $E[Var(X|Y)]$ sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

$\frac{3}{80}y^2$ ve $\frac{3}{112}$ Answer
B
$\frac{3}{5}y^2$ ve $\frac{3}{7}$
C
$\frac{3}{80}$ ve $\frac{3}{80}$
D
$\frac{17}{448}$ ve $\frac{17}{448}$
E
$\frac{3}{4}y$ ve $\frac{5}{8}$

Answer

Modelde

X

'in

Y=y

verildiğindeki koşullu varyansı

\frac{3}{80}y^2

ve bu koşullu varyansın beklenen değeri

\frac{3}{112}

olarak bulunur.

Çözüm iki temel aşamadan oluşmaktadır. İlk olarak

Y

'nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu

f_Y(y) = 5y^4

bulunur. Ardından koşullu PDF

f_{X|Y}(x|y) = \frac{3x^2}{y^3}

türetilir. Birinci ve ikinci koşullu momentler yardımıyla

Var(X|Y=y) = \frac{3}{5}y^2 - (\frac{3}{4}y)^2 = \frac{3}{80}y^2

değerine ulaşılır. İkinci aşamada ise, Toplam Varyans Kuralı'nın ilgili bileşeni olan

E[Var(X|Y)]

, az önce bulunan varyansın

Y

üzerinden entegre edilmesiyle

E[\frac{3}{80}Y^2] = \int_0^1 \frac{3}{80}y^2 \cdot 5y^4 \, dy = \frac{3}{112}

olarak neticelendirilir.

Step-by-Step Solution

Y

'nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunun (

f_Y(y)

) integrasyon ile bulunması.

f_Y(y) = \int_0^y 15x^2y \, dx = 15y \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^y = 5y^4 \quad (0 < y < 1)

Koşullu dağılım formülünde paydayı oluşturmak ve beklenti hesaplarında kullanmak içindir.

X

'in

Y=y

verildiğindeki koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonunun (

f_{X|Y}(x|y)

) elde edilmesi.

f_{X|Y}(x|y) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)} = \frac{15x^2y}{5y^4} = \frac{3x^2}{y^3} \quad (0 < x < y)

Koşullu beklenen değerleri türetebilmek için

Y

'ye bağlı koşullu PDF gereklidir.

Koşullu birinci ve ikinci momentlerin (

E[X|Y=y]

E[X^2|Y=y]

) hesaplanması.

E[X|Y=y] = \int_0^y x \frac{3x^2}{y^3} \, dx = \frac{3}{y^3}\left[\frac{x^4}{4}\right]_0^y = \frac{3}{4}y

E[X^2|Y=y] = \int_0^y x^2 \frac{3x^2}{y^3} \, dx = \frac{3}{y^3}\left[\frac{x^5}{5}\right]_0^y = \frac{3}{5}y^2

Varyans hesabında kullanılacak moment bileşenlerini belirlemek içindir.

Koşullu varyansın (

Var(X|Y=y)

) varyans formülüyle elde edilmesi.

Var(X|Y=y) = E[X^2|Y=y] - (E[X|Y=y])^2 = \frac{3}{5}y^2 - \left(\frac{3}{4}y\right)^2 = \left(\frac{3}{5} - \frac{9}{16}\right)y^2 = \frac{48 - 45}{80}y^2 = \frac{3}{80}y^2

Sorunun ilk aşamasındaki istenen hedef fonksiyonu hesaplamak içindir.

Koşullu varyansın beklenen değerinin (

E[Var(X|Y)]

)

Y

'nin marjinal dağılımı kullanılarak çözülmesi.

E[Var(X|Y)] = \int_0^1 \frac{3}{80}y^2 \cdot f_Y(y) \, dy = \int_0^1 \frac{3}{80}y^2 (5y^4) \, dy = \frac{15}{80} \int_0^1 y^6 \, dy = \frac{3}{16} \cdot \frac{1}{7} = \frac{3}{112}

Toplam varyans kuralının bir parçası olan, koşullu varyansın beklentisini (ikinci isteneni) bulmak içindir.

Key Concept

Koşullu Beklenen Değer, Koşullu Varyans ve Toplam Varyans Kuralı

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics