Examkin

Question

Difficulty: HardMevsimsel Zaman Serisi Modelleri (SARIMA)

Bir büyükşehir belediyesinin toplu taşıma sistemindeki günlük yolcu sayıları modellenirken, seride güçlü bir haftalık (s=7s=7) mevsimsellik tespit edilmiştir. Seriyi durağanlaştırmak için birinci dereceden olağan fark ve birinci dereceden mevsimsel fark işlemleri birlikte uygulanmış ve durağan WtW_t serisi elde edilmiştir.

Durağan WtW_t serisine ait korelogram (ACF ve PACF) incelendiğinde şu bulgulara ulaşılmıştır:
- Mevsimsel olmayan gecikmelerde: PACF grafiğinde ilk iki gecikmede (1. ve 2. gecikmeler) istatistiksel olarak anlamlı sivrileşmeler varken, sonraki gecikmelerde hızla sıfıra düşmektedir. ACF grafiği ise üstel olarak sönümlenmektedir.
- Mevsimsel gecikmelerde: ACF grafiğinde sadece 7. gecikmede (ilk mevsimsel gecikme) anlamlı bir sivrileşme gözlenmiş, sonraki mevsimsel gecikmelerde hızla kesilmiştir. PACF grafiği ise mevsimsel gecikmelerde (7, 14, 21...) yavaşça sönümlenmektedir.

Buna göre, Box-Jenkins yaklaşımı çerçevesinde orijinal zaman serisi (YtY_t) için belirlenen en uygun SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)sSARIMA(p, d, q)(P, D, Q)_s modelinin kapalı form denklemi aşağıdakilerden hangisidir? (Not: BB geri kaydırma operatörünü, εt\varepsilon_t ise beyaz gürültü sürecini temsil etmektedir.)

  1. A
    (1−B)(1−B7)Yt=(1−θ1B−θ2B2)(1−Θ1B7)εt(1 - B)(1 - B^7)Y_t = (1 - \theta_1 B - \theta_2 B^2)(1 - \Theta_1 B^7)\varepsilon_t
  2. B
    (1−ϕ1B−ϕ2B2)(1−Φ1B7)(1−B)(1−B7)Yt=εt(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2)(1 - \Phi_1 B^7)(1 - B)(1 - B^7)Y_t = \varepsilon_t
  3. (1−ϕ1B−ϕ2B2)(1−B)(1−B7)Yt=(1−Θ1B7)εt(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2)(1 - B)(1 - B^7)Y_t = (1 - \Theta_1 B^7)\varepsilon_tAnswer
  4. D
    (1−ϕ1B−ϕ2B2)(1−B7)Yt=(1−Θ1B7)εt(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2)(1 - B^7)Y_t = (1 - \Theta_1 B^7)\varepsilon_t
  5. E
    (1−Φ1B7−Φ2B14)(1−B)(1−B7)Yt=(1−θ1B)εt(1 - \Phi_1 B^7 - \Phi_2 B^{14})(1 - B)(1 - B^7)Y_t = (1 - \theta_1 B)\varepsilon_t

Answer

Doğru kapalı form denklemi, sol tarafta AR(2) ile olağan ve mevsimsel fark operatörlerini, sağ tarafta ise mevsimsel MA(1) bileşenini içeren ifadedir.
Verilen korelogram özellikleri analiz edildiğinde; mevsimsel olmayan kısımda PACF 2. gecikmede kesildiği için AR(2) modeli, mevsimsel kısımda ise ACF 7. (ilk mevsimsel) gecikmede kesildiği için SMA(1) modeli tespit edilir. Ayrıca metinde hem olağan hem de mevsimsel birinci derece fark alındığı açıkça belirtilmiştir. Bu durumları standart Box-Jenkins notasyonunda bir araya getirdiğimizde sol tarafta otoregresif polinom ve fark operatörleri (1−ϕ1B−ϕ2B2)(1−B)(1−B7)(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2)(1 - B)(1 - B^7), sağ tarafta ise hareketli ortalama polinomu (1−Θ1B7)(1 - \Theta_1 B^7) yer almalıdır. Bu yapıyı tam ve doğru veren tek seçenek doğru cevaptır.

Step-by-Step Solution

1
Seriye uygulanan durağanlaştırma işlemlerinden (fark alma) d ve D değerlerini belirleme.
Birinci dereceden olağan fark uygulandığı için d=1d=1, birinci dereceden mevsimsel fark uygulandığı için D=1D=1 ve mevsimsellik periyodu s=7s=7'dir. Denklemde sol tarafta (1−B)(1-B) ve (1−B7)(1-B^7) çarpanları olmalıdır.
Orijinal YtY_t serisi ile durağan WtW_t serisi arasındaki ilişki Wt=(1−B)(1−B7)YtW_t = (1-B)(1-B^7)Y_t eşitliği ile kurulur.
2
Mevsimsel olmayan (olağan) gecikmelerdeki ACF ve PACF davranışını analiz ederek p ve q değerlerini bulma.
PACF 2. gecikmede kesiliyor ve ACF üstel sönümleniyorsa, bu durum mevsimsel olmayan kısmın AR(2) süreci olduğunu gösterir (p=2,q=0p=2, q=0). Denklemde sol tarafa (1−ϕ1B−ϕ2B2)(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2) terimi eklenmelidir.
AR(p) süreçlerinde PACF grafiği p. gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfıra düşer (kesilir).
3
Mevsimsel gecikmelerdeki ACF ve PACF davranışını analiz ederek P ve Q değerlerini bulma.
ACF sadece 7. gecikmede (ilk mevsimsel gecikme) kesiliyor ve PACF mevsimsel gecikmelerde sönümleniyorsa, mevsimsel kısım SMA(1) sürecidir (P=0,Q=1P=0, Q=1). Denklemde sağ tarafa (1−Θ1B7)(1 - \Theta_1 B^7) terimi eklenmelidir.
MA(q) süreçlerinin karakteristiği olan ACF'nin kesilmesi durumu, mevsimsel modellerde s periyotlu gecikmelerde (burada s=7) gözlenir.
4
Tüm bileşenleri SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s kapalı form denkleminde birleştirme.
Model SARIMA(2,1,0)(0,1,1)7SARIMA(2,1,0)(0,1,1)_7 olarak tanımlanır. Denklem: (1−ϕ1B−ϕ2B2)(1−B)(1−B7)Yt=(1−Θ1B7)εt(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2)(1 - B)(1 - B^7)Y_t = (1 - \Theta_1 B^7)\varepsilon_t şeklindedir.
Box-Jenkins yaklaşımında otoregresif terimler ve fark operatörleri serinin (YtY_t) katsayısı olarak sol tarafta, hareketli ortalama terimleri ise hata teriminin (εt\varepsilon_t) katsayısı olarak sağ tarafta yazılır.

Key Concept

Mevsimsel Zaman Serisi Modelleri (SARIMA) Denklem Gösterimi ve Korelogram Analizi
Rate this question

Topics

Mevsimsel Zaman Serisi Modelleri (SARIMA)

More questions from this topic