Bir istatistik kurumu, finansal piyasalardaki risk faktörlerini modellemek amacıyla A (Döv… — KPSS İstatistik

Bir istatistik kurumu, finansal piyasalardaki risk faktörlerini modellemek amacıyla $A$ (Döviz kuru şoku), $B$ (Faiz oranı artışı) ve $C$ (Küresel tedarik krizi) olaylarının gerçekleşme olasılıklarına dair bir ön rapor yayımlamıştır. Raporda belirtilen olasılık değerleri ve olaylar arası ilişkiler aşağıda verilmiştir:

- $P(A) = 0,60$
- $P(B) = 0,50$
- $P(C) = 0,35$
- $P(A \cap B) = 0,20$
- $A$ ve $C$ olayları ayrık (mutually exclusive) olaylardır.
- $B$ ve $C$ olayları bağımsız (independent) olaylardır.

Bu raporun olasılık aksiyomları çerçevesinde değerlendirilmesiyle ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Verilen olasılık değerleri tutarsızdır; çünkü en az bir olayın gerçekleşme olasılığı hesaplandığında $1$ değerini aşmakta ve olasılık aksiyomları ihlal edilmektedir.Answer
B
$A$ ve $C$ olayları ayrık olarak tanımlandığı için kesişimlerinin olasılığı $P(A) \times P(C) = 0,210$ olmalıdır, rapor bu yönüyle teorik olarak hatalıdır.
C
$B$ ve $C$ olayları bağımsız olduğundan, bu iki olayın birleşim olasılığı $P(B) + P(C) = 0,85$ şeklinde hesaplanmalı ve sistem geçerli kabul edilmelidir.
D
Rapor tutarlıdır; çünkü $A$ olayının gerçekleştiği bilindiğinde $B$ 'nin gerçekleşme olasılığı olan $P(B|A)$ değeri $\frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,20}{0,50} = 0,40$ olarak geçerli bir sınırda kalmaktadır.
E
$B$ ve $C$ olayları bağımsız olduğu için ortak kesişimleri $P(B \cap C) = 0$ olmalıdır, bu durum dikkate alındığında olayların birleşim olasılığı $1$ 'in altında kalır.

Answer

Verilen olasılık değerleri tutarsızdır; çünkü olayların birleşiminin olasılığı 1'i aşarak olasılık aksiyomlarını ihlal etmektedir.

Verilen bilgiler doğrultusunda olayların en az birinin gerçekleşme olasılığı (

P(A \cup B \cup C)

) genel toplama formülüyle hesaplandığında;

0,60 + 0,50 + 0,35 - 0,20 - 0 - 0,175 + 0 = 1,075

sonucu elde edilmektedir. Kolmogorov'un olasılık fonksiyonu aksiyomlarına göre bir olasılık değeri maksimum

1

olabilir. Bulunan değerin

1

'i aşması, rapordaki olasılık dağılımının teorik olarak imkansız (tutarsız) olduğunu kanıtlar.

Step-by-Step Solution

Ayrık olayların kesişim olasılığını belirleme

P(A \cap C) = 0

Ayrık (mutually exclusive) olayların aynı anda gerçekleşmesi imkansızdır, bu nedenle kesişim olasılıkları her zaman sıfırdır.

Bağımsız olayların kesişim olasılığını hesaplama

P(B \cap C) = P(B) \times P(C) = 0,50 \times 0,35 = 0,175

Bağımsız (independent) olayların kesişim olasılığı, o olayların marjinal olasılıklarının çarpımına eşittir.

Üçlü kesişim olasılığını bulma

P(A \cap B \cap C) = 0

A

C

olayları ayrık (

A \cap C = \emptyset

) olduğu için, bu üç olayın birlikte gerçekleşme kümesi de boş kümedir.

Olayların birleşiminin olasılığını hesaplayarak aksiyomları test etme

P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C) = 0,60 + 0,50 + 0,35 - 0,20 - 0 - 0,175 + 0 = 1,075

Genel toplama kuralı uygulanarak en az bir olayın gerçekleşme olasılığı bulunur.

Sonucu Kolmogorov'un olasılık aksiyomlarıyla değerlendirme

Rapor hatalı ve tutarsızdır.

Kolmogorov'un birim ölçü aksiyomuna göre (

P(S) = 1

), hiçbir olayın olasılığı

1

'den büyük olamaz (

1,075 > 1

Key Concept

Kolmogorov Olasılık Aksiyomları ve Olasılık Toplama Kuralı

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic