X_1, X_2, \dots, X_n rastgele örneklemi, olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x; \theta) = \frac{1}{2\theta} e^{-\frac{|x|}{\theta}}, \quad -\infty 0 olan dağılımdan alınmıştır. Buna göre, kitle varyansının yansız bir tahmin edicisi için Cramer-Rao alt sınırı aşağıdakilerden h

X_1, X_2, \dots, X_n rastgele örneklemi, olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x; \theta) = \frac… — KPSS İstatistik

X_1, X_2, \dots, X_n

rastgele örneklemi, olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x; \theta) = \frac{1}{2\theta} e^{-\frac{|x|}{\theta}}, \quad -\infty < x < \infty, \quad \theta > 0

olan dağılımdan alınmıştır.

Buna göre, kitle varyansının yansız bir tahmin edicisi için Cramer-Rao alt sınırı aşağıdakilerden hangisidir?

Doğru cevap

\frac{16\theta^4}{n}

olacaktır.

Cramer-Rao alt sınırı (CRLB) bir parametrenin fonksiyonu olan

\tau(\theta)

için hesaplanırken

\frac{[\tau'(\theta)]^2}{n I(\theta)}

formülü kullanılır. Laplace dağılımı için varyans

\tau(\theta) = 2\theta^2

ve türevi

\tau'(\theta) = 4\theta

'dır. Fisher bilgi miktarı ise

I(\theta) = \frac{1}{\theta^2}

olarak hesaplanır. Değerler formülde yerine konulduğunda

\frac{(4\theta)^2}{n (1/\theta^2)} = \frac{16\theta^4}{n}

elde edilir.

Dağılımın beklenen değerini ve varyansını (

\tau(\theta)

) hesaplayın.

E(X) = 0

(simetriden dolayı) ve

E(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 \frac{1}{2\theta} e^{-|x|/\theta} dx = \int_{0}^{\infty} x^2 \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta} dx = 2\theta^2

bulunur. Varyans

Var(X) = 2\theta^2

olur.

Soruda varyansın yansız tahmin edicisi için alt sınır sorulduğundan, öncelikle varyansın parametre cinsinden fonksiyonu (

\tau(\theta)

) bulunmalıdır.

Bulunan

\tau(\theta)

fonksiyonunun

\theta

'ya göre türevini alın.

\tau(\theta) = 2\theta^2 \implies \tau'(\theta) = 4\theta

elde edilir.

Cramer-Rao alt sınırı formülünün payı için tahmin edilen fonksiyonun türevine ihtiyaç vardır.

Bir gözlem için Fisher Bilgi miktarını (

I(\theta)

) bulun.

\ln f = -\ln(2) - \ln(\theta) - \frac{|x|}{\theta}

türevi alındığında skor fonksiyonu

\frac{|x|-\theta}{\theta^2}

olur.

|X|

üstel dağıldığından varyansı

\theta^2

'dir. Fisher bilgisi

I(\theta) = Var\left(\frac{|X|-\theta}{\theta^2}\right) = \frac{1}{\theta^4} \theta^2 = \frac{1}{\theta^2}

bulunur.

Cramer-Rao alt sınırı formülünün paydasını oluşturmak için bilgi matrisinin beklenen değeri hesaplanmalıdır.

Cramer-Rao alt sınırı formülünü uygulayın.

CRLB = \frac{[\tau'(\theta)]^2}{n I(\theta)} = \frac{(4\theta)^2}{n (1/\theta^2)} = \frac{16\theta^2}{n/\theta^2} = \frac{16\theta^4}{n}

olarak hesaplanır.

Varyansın yansız herhangi bir tahmin edicisinin varyansının alabileceği en küçük değer bu şekilde bulunur.

Cramer-Rao Alt Sınırı ve Fonksiyon Tahmini