X_1, X_2, \ldots, X_n, olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x; \theta) = \frac{1}{\theta} e^{-x/… — KPSS İstatistik

$X_1, X_2, \ldots, X_n$ , olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x; \theta) = \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}, \quad x > 0

olan üstel dağılımdan alınmış $n$ hacimli bir rastgele örneklemdir ( $\theta > 0$ ).

Bilinmeyen $\theta$ parametresi için eksen (pivot) fonksiyonu yöntemiyle bir güven aralığı oluşturulmak istenmektedir.

Buna göre, kullanılması gereken en uygun pivot fonksiyonu ve bu fonksiyonun tam (kesin) dağılımı aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

A
Pivot: $\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\theta}$ , Dağılım: $n$ serbestlik dereceli Ki-kare ( $\chi^2_{n}$ )
B
Pivot: $\frac{\bar{X} - \theta}{\theta / \sqrt{n}}$ , Dağılım: $n-1$ serbestlik dereceli Student-t ( $t_{n-1}$ )
Pivot: $\frac{2 \sum_{i=1}^n X_i}{\theta}$ , Dağılım: $2n$ serbestlik dereceli Ki-kare ( $\chi^2_{2n}$ )Answer
D
Pivot: $2\theta \sum_{i=1}^n X_i$ , Dağılım: $2n$ serbestlik dereceli Ki-kare ( $\chi^2_{2n}$ )
E
Pivot: $\frac{\bar{X} - \theta}{S / \sqrt{n}}$ , Dağılım: Standart Normal ( $N(0,1)$ )

Answer

En uygun eksen fonksiyonu

\frac{2 \sum_{i=1}^n X_i}{\theta}

'dır ve dağılımı

2n

serbestlik dereceli Ki-kare (

\chi^2_{2n}

)'dir.

Verilen

X_i

değişkenleri üstel dağılıma sahiptir. Bu değişkenleri parametreye bölerek

X_i/\theta \sim Exp(1)

elde ederiz. Bu standart üstel değişkenleri 2 sabiti ile çarptığımızda

2X_i/\theta \sim \chi^2_2

(2 serbestlik dereceli Ki-kare) dağılımını elde ederiz. Bağımsız Ki-kare değişkenlerinin toplamı da Ki-kare dağılacağından,

n

adet değişkenin toplamı olan

\frac{2 \sum X_i}{\theta} \sim \chi^2_{2n}

olur. Bu ifade hem örneklemi hem

\theta

'yı içerir ve dağılımı

\theta

'dan tamamen bağımsızdır. Dolayısıyla aralık tahmini için tanıma tam uyan en uygun eksen (pivot) fonksiyonudur.

Step-by-Step Solution

Örneklemdeki her bir değişkenin standartlaştırılması.

X_i \sim Exp(ortalama = \theta)

olduğundan,

Z_i = X_i/\theta \sim Exp(1)

olur.

Eksen fonksiyonu elde etmek için istatistiğin dağılımını bilinmeyen parametreden arındırmak gerekir.

Standartlaştırılmış değişkenlerin dönüştürülmesi.

Z_i \sim Exp(1)

iken, bu değişkeni 2 ile çarptığımızda

2Z_i

değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu

(1-2t)^{-1}

olur. Bu da

\chi^2_2

dağılımını gösterir.

Üstel dağılım ile standart ve tablolarda kolayca bulunabilen Ki-kare dağılımı arasındaki ilişkiyi kurmak.

Toplam istatistiğinin dağılımının bulunması.

Bağımsız

n

adet

\chi^2_2

değişkeninin toplamı olan

\sum (2Z_i) = \frac{2 \sum X_i}{\theta}

rastgele değişkeni

\chi^2_{2n}

dağılımına sahip olur.

Bağımsız Ki-kare değişkenlerinin toplamının serbestlik dereceleri toplanır.

Pivot şartının kontrolü.

Elde edilen

\frac{2 \sum X_i}{\theta}

fonksiyonu örneklem verisini ve sadece ilgilenilen parametreyi (

\theta

) içerir; ayrıca dağılımı (

\chi^2_{2n}

)

\theta

'dan tamamen bağımsızdır.

Geçerli bir güven aralığı sınırları hesaplayabilmek için kritik değerlerin parametresiz tablolardan okunabilmesi şarttır.

Key Concept

Üstel dağılımda kitle ortalaması için güven aralığı çıkarılırken, toplam istatistiğinin uygun bir sabit ile çarpılarak parametreden bağımsız

\chi^2

(Ki-kare) dağılımına dönüştürülmesi gerekir.

Estimated Time:1m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic