İstatistiksel modelleme çalışmalarında kullanılan X ve Y rastgele değişkenleri, [0, 1] ara… — KPSS İstatistik

İstatistiksel modelleme çalışmalarında kullanılan $X$ ve $Y$ rastgele değişkenleri, $[0, 1]$ aralığında bağımsız düzgün (uniform) dağılıma sahiptir. Bu iki değişkenin çarpımı ile tanımlanan $U = XY$ rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_U(u)$ , $0 < u < 1$ aralığı için aşağıdakilerden hangisidir?

$-\ln u$ Answer
B
$1$
C
$u$
D
$e^{-u}$
E
$\frac{1}{u}$

Answer

Bağımsız iki düzgün değişkenin çarpımının olasılık yoğunluk fonksiyonu

-\ln u

şeklindedir.

Bağımsız iki

[0, 1]

düzgün değişkenin çarpımı olan

U=XY

için yapılan dönüşümde

|J|=1/v

çarpanı gelir. Ortak yoğunluk

1/v

ifadesinin

v

değişkeninin tanımlı olduğu

[u, 1]

aralığında integre edilmesiyle elde edilen

-\ln u

sonucu, bu tür temel çarpım dönüşümlerinin standart sonucudur.

Step-by-Step Solution

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu belirleyin.

f_{X,Y}(x, y) = 1 \cdot 1 = 1

, (

0 < x, y < 1

)

Değişkenler bağımsız olduğu için ortak yoğunluk, marjinal yoğunlukların çarpımıdır.

Değişken dönüşümü ve Jakobiyen determinantını hesaplayın.

U = XY, V = X \Rightarrow X = V, Y = U/V

|J| = 1/v

Çok değişkenli dönüşüm yönteminde yeni değişkenlerin ortak yoğunluğunu bulmak için Jakobiyen çarpanı gereklidir.

Yeni ortak yoğunluk fonksiyonunu (

f_{U,V}

) yazın.

f_{U,V}(u, v) = f_{X,Y}(v, u/v) \cdot |J| = 1 \cdot (1/v) = 1/v

Dönüşüm formülü uygulanarak

U

ve yardımcı değişken

V

'nin ortak dağılımı elde edilir.

V

üzerinden integral alarak

U

'nun marjinal yoğunluğunu bulun.

f_U(u) = \int_u^1 \frac{1}{v} dv = [\ln v]_u^1 = \ln 1 - \ln u = -\ln u

0 < u/v < 1 \Rightarrow v > u

olduğundan integral sınırları

u

ile

1

arasındadır.

Key Concept

Bağımsız sürekli rastgele değişkenlerin çarpımının dağılımı ve Jakobiyen yöntemi.

Practice More

Bağımsız standart normal değişkenlerin oranı olan

X/Y

ifadesinin Cauchy dağılımına sahip olduğunu kanıtlamayı deneyebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Topics