Examkin

Question

Difficulty: EasyMartingaleler

{Fn,n≥0}\{\mathcal{F}_n, n \geq 0\} filtrasyonuna göre bir martingal (martingale) olduğu bilinen {Xn,n≥0}\{X_n, n \geq 0\} stokastik sürecinin başlangıç değeri X0=5X_0 = 5 olarak verilmiştir. Bu sürecin 10. adımdaki değeri X10=12X_{10} = 12 olarak gözlemlendiğine göre, sürecin 15. adımdaki koşullu beklenen değeri olan E[X15∣F10]E[X_{15} | \mathcal{F}_{10}] kaçtır?

  1. A
    5
  2. B
    10
  3. 12Answer
  4. D
    15
  5. E
    17

Answer

Sürecin 15. adımdaki koşullu beklenen değeri 12'dir.
Martingal süreçlerin temel özelliği olan E[Xn+k∣Fn]=XnE[X_{n+k} | \mathcal{F}_n] = X_n kuralına göre, sürecin gelecekteki bir andaki beklenen değeri, eldeki en güncel bilgi kümesi olan filtrasyonun son değerine eşittir. Burada 10. adımdaki değer 12 olarak verildiği için, 15. adımdaki beklenen değer de 12 olacaktır.

Step-by-Step Solution

1
Martingal tanımını ve temel özelliğini hatırla.
E[Xn+k∣Fn]=XnE[X_{n+k} | \mathcal{F}_n] = X_n (her k≥0k \geq 0 için).
Martingal süreçlerde, mevcut tüm bilgiler ışığında gelecekteki durumun beklenen değeri, sürecin o andaki değerine eşittir.
2
Soruda verilen parametreleri formüle yerleştir.
n=10n=10 ve k=5k=5 olduğu için E[X15∣F10]=X10E[X_{15} | \mathcal{F}_{10}] = X_{10} olur.
10. adımdaki tüm bilgiler (filtrasyon) verildiği için özellik bu indisler üzerinden uygulanır.
3
Gözlemlenen X10X_{10} değerini yerine koy.
X10=12X_{10} = 12 olduğundan beklenen değer 12'dir.
Süreç martingal olduğu için geçmişteki değişimler veya başlangıç değeri, o andaki bilgi verildikten sonra beklentiyi değiştirmez.

Key Concept

Martingal Korunum Özelliği
Estimated Time:45s
Rate this question

Topics

Martingaleler

More questions from this topic