Examkin

Question

Difficulty: MediumTemel Bileşen Katsayıları ve Doğrusal Kombinasyonlar

Bir tıbbi araştırmada, hastaların kan değerlerinden oluşan 3 değişkenli bir (X1,X2,X3)(X_1, X_2, X_3) veri seti için hesaplanan örneklem kovaryans matrisi (SS) üzerinden Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulanmıştır. Kovaryans matrisinin izi (trace) Tr(S)=100Tr(S) = 100 olarak verilmiştir.

Analiz sonucunda, veri setindeki toplam varyansın %64\%64'ünü açıklayan birinci temel bileşen (Y1Y_1) elde edilmiştir. Bu temel bileşeni oluşturan doğrusal kombinasyon aşağıda verilmiştir:
Y1=05X1+aX2+05X3(a>0) Y_1 = 0{}5 X_1 + a X_2 + 0{}5 X_3 \quad (a > 0)
(Not: Temel bileşen katsayıları vektörünün normalize edilmiş olduğu, yani katsayıların kareleri toplamının 11'e eşit olduğu varsayılmaktadır.)

Buna göre, birinci orijinal değişken (X1X_1) ile birinci temel bileşen (Y1Y_1) arasındaki kovaryans (Cov(X1,Y1)Cov(X_1, Y_1)) değeri kaçtır?

  1. A
    4
  2. B
    16
  3. 32Answer
  4. D
    50
  5. E
    64

Answer

Birinci orijinal değişken ile birinci temel bileşen arasındaki kovaryans 32'dir.
Temel Bileşenler Analizinde, orijinal bir XiX_i değişkeni ile elde edilen bir YjY_j temel bileşeni arasındaki kovaryans, matris cebiri kuralları gereği Cov(Xi,Yj)=ejiλjCov(X_i, Y_j) = e_{ji} \lambda_j formülüne eşittir. Toplam varyans matrisin izi olan 100100 değeridir. Açıklanan varyans oranı %64\%64 olduğundan birinci özdeğer λ1=100×064=64\lambda_1 = 100 \times 0{}64 = 64 olarak bulunur. Doğrusal kombinasyonda X1X_1'in katsayısı (özvektörün ilk elemanı) 050{}5 olarak verildiği için aranan kovaryans değeri Cov(X1,Y1)=05×64=32Cov(X_1, Y_1) = 0{}5 \times 64 = 32 sonucuna ulaşılır. Kombinasyonda yer alan aa katsayısının bulunmasına (a=05a = \sqrt{0{}5}) işlemi çözmek için gerek yoktur.

Step-by-Step Solution

1
Birinci temel bileşenin varyansını (özdeğerini) hesaplama.
λ1=100×064=64\lambda_1 = 100 \times 0{}64 = 64
Toplam varyans, kovaryans matrisinin izine eşittir ve birinci bileşen bu toplam varyansın %64'ünü açıklamaktadır.
2
Birinci orijinal değişkenin (X1X_1) birinci temel bileşendeki (Y1Y_1) doğrusal kombinasyon katsayısını belirleme.
e11=05e_{11} = 0{}5
Verilen doğrusal kombinasyon denkleminde X1X_1'in katsayısı doğrudan 050{}5 olarak verilmiştir.
3
Orijinal değişken ile temel bileşen arasındaki kovaryansı hesaplama.
Cov(X1,Y1)=05×64=32Cov(X_1, Y_1) = 0{}5 \times 64 = 32
Temel Bileşenler Analizinin özelliklerinden dolayı herhangi bir XiX_i değişkeni ile YjY_j temel bileşeni arasındaki kovaryans Cov(Xi,Yj)=ejiλjCov(X_i, Y_j) = e_{ji} \lambda_j eşitliği ile bulunur.

Key Concept

Temel Bileşen Katsayıları, Özdeğerler ve Doğrusal Kombinasyonların Varyans-Kovaryans Yapısı
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Temel Bileşen Katsayıları ve Doğrusal Kombinasyonlar