Bir mühendislik projesinde incelenen iki farklı ölçüm sonucu X ve Y sürekli rastgele değiş… — KPSS İstatistik

Bir mühendislik projesinde incelenen iki farklı ölçüm sonucu $X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenleri ile temsil edilmektedir. Bu değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekilde tanımlanmıştır:

f(x, y) = \begin{cases} 4xy, & 0 < x < 1, \quad 0 < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}

Buna göre, $X$ rastgele değişkeninin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

$f_X(x) = 2x, \quad 0 < x < 1$ Answer
B
$f_X(x) = 2y, \quad 0 < y < 1$
C
$f_X(x) = 4x, \quad 0 < x < 1$
D
$f_X(x) = x, \quad 0 < x < 1$
E
$f_X(x) = 1, \quad 0 < x < 1$

Answer

X

değişkeninin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu

f_X(x) = 2x, \quad 0 < x < 1

olarak bulunur.

Sürekli iki değişkenli bir dağılımda

X

'in marjinal yoğunluk fonksiyonu, ortak yoğunluk fonksiyonunun

y

üzerinden integralinin alınmasıyla bulunur.

0 < y < 1

aralığında

4xy

fonksiyonunun

y

değişkenine göre integrali

2x

sonucunu vermektedir.

Step-by-Step Solution

Marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu formülünü belirle.

f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) \, dy

X

'in marjinal dağılımını bulmak için ortak yoğunluk fonksiyonunu

y

üzerinden entegre etmemiz gerekir.

Verilen fonksiyonu ve

y

değişkeninin sınırlarını integrale yerleştir.

f_X(x) = \int_{0}^{1} 4xy \, dy

Fonksiyon

0 < y < 1

aralığında tanımlı olduğu için integral sınırları bu değerlerdir.

y

değişkenine göre integrali hesapla.

f_X(x) = 4x \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{1} = 4x \left( \frac{1}{2} - 0 \right) = 2x

4x

terimi

y

için sabit kabul edilir,

y

teriminin integrali ise

y^2/2

olur.

Key Concept

Marjinal Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

Hints

X

'in marjinalini bulmak için diğer değişken olan

y

üzerinden integral almalısınız.

İntegral sınırlarını

y

değişkeninin tanımlı olduğu

0

ile

1

aralığı olarak belirleyin.

y

üzerinden integral alırken

4x

terimini bir katsayı (sabit) gibi integral dışına alabilirsiniz.

Practice More

Benzer bir işlemi

Y

değişkeninin marjinal dağılımını bulmak için de yaparak değişkenlerin bağımsız olup olmadığını kontrol edebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Topics