Examkin

Question

Difficulty: MediumPivot (Eksen) Fonksiyonu Yöntemi

X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n, olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x;θ)=1θe−(x−1)/θ,x>1,θ>0f(x; \theta) = \frac{1}{\theta} e^{-(x-1)/\theta}, \quad x > 1, \quad \theta > 0

şeklinde verilen bir kitleden alınan rasgele bir örneklemi temsil etmektedir. Bu kitle parametresi θ\theta için güven aralığı oluşturulurken kullanılacak olan ve χ2\chi^2 (Ki-kare) dağılımı sergileyen pivot (eksen) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 2∑i=1n(Xi−1)θ\frac{2 \sum_{i=1}^n (X_i - 1)}{\theta}Answer
  2. B
    2∑i=1nXiθ\frac{2 \sum_{i=1}^n X_i}{\theta}
  3. C
    ∑i=1n(Xi−1)θ2\frac{\sum_{i=1}^n (X_i - 1)}{\theta^2}
  4. D
    Xˉ−1nθ\frac{\bar{X} - 1}{n\theta}
  5. E
    ∑i=1nXi−1θ\frac{\sum_{i=1}^n X_i - 1}{\theta}

Answer

Kitlenin kaydırılmış üstel dağılımına uygunluğu nedeniyle, her bir gözlemden 1 çıkarılıp parametreye oranlanarak elde edilen toplamın 2 katı, yani 2∑(Xi−1)/θ2 \sum (X_i - 1) / \theta ifadesi 2n2n serbestlik dereceli Ki-kare dağılımı verir.
Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonu, 1 birim sağa kaydırılmış bir üstel dağılımdır. Bu nedenle Xi−1X_i - 1 dönüşümü yapıldığında elde edilen yeni değişkenler standart θ\theta parametreli üstel dağılıma uyar. Üstel dağılımda ∑2Yi/θ\sum 2Y_i / \theta ifadesinin 2n2n serbestlik dereceli Ki-kare dağılımı verdiği bilindiğinden, doğru cevap bu dönüşümü içeren ifadedir.

Step-by-Step Solution

1
Değişken dönüşümü yaparak yeni bir YY değişkeni tanımlayın.
Yi=Xi−1Y_i = X_i - 1 olsun. Buradan x>1x > 1 için y>0y > 0 elde edilir.
Pivot fonksiyonu elde etmek için öncelikle kitlenin standart bir dağılıma (üstel dağılım) dönüştürülmesi gerekir.
2
YiY_i değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulun.
fY(y)=1θe−y/θ,y>0f_Y(y) = \frac{1}{\theta} e^{-y/\theta}, \quad y > 0 (Üstel Dağılım).
Kaydırma parametresi arındırıldığında YiY_i değişkenleri θ\theta parametreli üstel dağılıma sahip olur.
3
Üstel dağılım ile Ki-kare dağılımı arasındaki ilişkiyi uygulayın.
Y∼U¨stel(θ)⇒2Yθ∼χ(2)2Y \sim \text{Üstel}(\theta) \Rightarrow \frac{2Y}{\theta} \sim \chi^2_{(2)}.
Standart bir istatistiksel özellik olarak, ortalaması θ\theta olan üstel dağılımın 2/θ2/\theta katı 2 serbestlik dereceli Ki-kare dağılımına eşittir.
4
Bağımsız rasgele değişkenlerin toplamı özelliğini kullanarak örneklem geneline yayın.
∑i=1n2(Xi−1)θ=2∑i=1n(Xi−1)θ∼χ(2n)2\sum_{i=1}^n \frac{2(X_i - 1)}{\theta} = \frac{2 \sum_{i=1}^n (X_i - 1)}{\theta} \sim \chi^2_{(2n)}.
Bağımsız Ki-kare değişkenlerinin toplamı, serbestlik derecelerinin toplamına eşit olan yeni bir Ki-kare değişkeni oluşturur.

Key Concept

Pivot (Eksen) Fonksiyonu ve Dağılım Dönüşümleri

Practice More

Farklı dağılımlar (Örneğin Uniform veya Gamma) için pivot fonksiyonu seçiminde parametrenin konum (location) veya ölçek (scale) parametresi olmasına dikkat ederek pratik yapın.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Pivot (Eksen) Fonksiyonu Yöntemi

More questions from this topic