Kanonik Korelasyon Analizi

82 questions

Bir araştırmacı, standardize edilmiş 4 değişkenli $X$ seti ile 3 değişkenli $Y$ seti arasındaki çok boyutlu ilişkileri incelemek amacıyla kanonik korelasyon analizi uygulamaktadır. Analiz sonucunda elde edilen ilk kanonik fonksiyona ilişkin aşağıdaki bulgular raporlanmıştır:

- İlk kanonik korelasyon katsayısı ( $R_{c1}$ ) $0,80$ olarak hesaplanmıştır.
- $X$ setinin kendi kanonik değişkeni ( $U_1$ ) tarafından açıklanan ortalama varyans oranı $\%40$ olarak bulunmuştur.
- $X$ setinde yer alan $X_2$ değişkeninin, $Y$ setinin ilk kanonik değişkeni ( $V_1$ ) ile olan çapraz yükü (korelasyonu) $0,48$ olarak elde edilmiştir.

Bu bilgilere göre, sırasıyla;
I. $X$ setindeki varyansın, $Y$ setinin ilk kanonik değişkeni ( $V_1$ ) tarafından açıklanan oranı (Fazlalık İndeksi),
II. $X_2$ değişkeninin kendi kanonik değişkeni ( $U_1$ ) ile olan kanonik yük değeri

aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

\%25,6

ve II:

0,60

\%64,0

ve II:

0,60

\%32,0

ve II:

0,38

\%25,6

ve II:

0,48

\%40,0

ve II:

0,64

Show answer & explanation

Answer: I: $\%25,6$ ve II: $0,60$

Answer

Fazlalık İndeksi

\%25,6

X_2

değişkeninin kanonik yükü

0,60

olarak bulunmalıdır.

Kanonik analizde çapraz yük (cross loading), bir değişkenin karşı setin kanonik değişkeni ile olan korelasyonudur ve 'Kanonik Yük

\times R_{c1}

' formülüyle hesaplanır. Soruda çapraz yük

0,48

R_{c1} = 0,80

olarak verildiği için, kanonik yük

0,48 / 0,80 = 0,60

bulunur. Fazlalık İndeksi (Redundancy Index) ise, setin kendi kanonik değişkeni tarafından açıklanan varyans oranının, kanonik korelasyon katsayısının karesi (

R_{c1}^2

) ile çarpılmasıdır. Verilen açıklanan varyans

\%40

R_{c1}^2 = 0,64

olduğundan, fazlalık indeksi

0,40 \times 0,64 = 0,256

(

\%25,6

) olarak bulunur. Doğru seçenek her iki hesaplamayı da sağlayan seçenektir.

Step-by-Step Solution

X_2

değişkeninin kanonik yükünün hesaplanması

0,48 / 0,80 = 0,60

Çapraz yük, kanonik yük ile kanonik korelasyon katsayısının (

R_{c1}

) çarpımına eşittir. Bu nedenle kanonik yükü bulmak için çapraz yük

R_{c1}

değerine bölünür.

X

seti için Fazlalık İndeksinin (Redundancy Index) hesaplanması

0,40 \times (0,80)^2 = 0,256 \implies \%25,6

Fazlalık indeksi, bir setin kendi kanonik değişkeni tarafından açıklanan ortalama varyans oranının, o fonksiyonun ortak varyansı (kanonik korelasyon katsayısının karesi) ile çarpılmasıyla elde edilir.

Key Concept

Kanonik Yükler, Çapraz Yükler ve Fazlalık İndeksi Arasındaki İlişkiler

Alternative Method

Formülleri ezberlemek yerine yol analizi (path analysis) mantığı kullanılabilir.

X_2

'den

V_1

'e giden yol (çapraz yük),

X_2 \xrightarrow{L} U_1 \xrightarrow{R_{c1}} V_1

adımlarından oluşur. Dolayısıyla Çapraz Yük =

L \times R_{c1}

. Buradan

0,48 = L \times 0,80 \implies L = 0,60

anında görülür.

Estimated Time:2m 30s

Question 82Question →

$X$ ve $Y$ , ortalamaları sıfır olan iki rastgele değişken vektörüdür. Bu veri setleri üzerinde yapılan kanonik korelasyon analizi sonucunda, ilk iki kanonik değişken çifti sırasıyla $(U_1, V_1)$ ve $(U_2, V_2)$ olarak elde edilmiştir. Analiz varsayımı gereği kanonik değişkenlerin varyanslarının standartlaştırılarak $1$ yapıldığı ( $Var(U_i)=Var(V_i)=1$ ) bilinmektedir.

Elde edilen ilk iki kanonik korelasyon katsayısı $\rho_1 = 0,75$ ve $\rho_2 = 0,50$ olarak hesaplanmıştır.

Bir araştırmacı, bu kanonik değişkenlerin doğrusal birleşimini kullanarak aşağıdaki gibi iki yeni kompozit değişken (

K

L

) oluşturmuştur:

K = 4U_1 + 3U_2

L = 8V_1 - 6V_2

Buna göre, $K$ ve $L$ kompozit değişkenleri arasındaki Pearson korelasyon katsayısı ( $r_{KL}$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

0,15

0,27

0,30

0,45

0,66

Show answer & explanation

Answer: 0,30

Answer

0,30

K

L

değişkenlerinin korelasyonu hesaplanırken, öncelikle varyansları bulunmalıdır.

Var(K) = 4^2 + 3^2 = 25

(standart sapması

5

) ve

Var(L) = 8^2 + (-6)^2 = 100

(standart sapması

10

) olarak hesaplanır. İki setin kovaryansı için ortogonallik kuralı devreye girer; çapraz setlerde sadece aynı sıradaki kanonik değişkenlerin kovaryansı sıfırdan farklıdır.

Cov(K, L) = 4 \times 8 \times Cov(U_1, V_1) + 3 \times (-6) \times Cov(U_2, V_2)

şeklinde yazılır. Değerler yerine konduğunda

32(0,75) - 18(0,50) = 24 - 9 = 15

kovaryans değerine ulaşılır. Korelasyon ise

15 / 50 = 0,30

sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

Kanonik değişkenlerin varyans ve kovaryans özelliklerini belirleme.

Var(U_i) = Var(V_i) = 1

. Aynı set içindeki değişkenler diktir:

Cov(U_1, U_2) = 0

Cov(V_1, V_2) = 0

. Çapraz setlerde sadece aynı indisli olanlar ilişkilidir:

Cov(U_1, V_1) = 0,75

Cov(U_2, V_2) = 0,50

. Çapraz indeksli kovaryanslar sıfırdır:

Cov(U_1, V_2) = Cov(U_2, V_1) = 0

Kanonik korelasyon analizinin temel teorisi gereği kanonik boyutlar birbirinden bağımsızdır (ortogonaldir).

K

L

değişkenlerinin varyanslarını ve standart sapmalarını hesaplama.

Var(K) = 4^2(1) + 3^2(1) = 16 + 9 = 25 \Rightarrow \sigma_K = 5

Var(L) = 8^2(1) + (-6)^2(1) = 64 + 36 = 100 \Rightarrow \sigma_L = 10

Birbirinden bağımsız değişkenlerin doğrusal kombinasyonunun varyansı, ağırlıkların kareleri toplamına eşittir.

K

L

değişkenleri arasındaki kovaryansı hesaplama.

Cov(K, L) = Cov(4U_1 + 3U_2, 8V_1 - 6V_2)

= 32 Cov(U_1, V_1) - 24 Cov(U_1, V_2) + 24 Cov(U_2, V_1) - 18 Cov(U_2, V_2)

= 32(0,75) - 0 + 0 - 18(0,50)

= 24 - 9 = 15

İki kompozit değişkenin ortak değişimi (kovaryansı), kendilerini oluşturan temel bileşenlerin kovaryanslarının doğrusal kombinasyonudur.

Pearson korelasyon katsayısını hesaplama.

r_{KL} = \frac{Cov(K, L)}{\sigma_K \times \sigma_L} = \frac{15}{5 \times 10} = \frac{15}{50} = 0,30

Korelasyon, kovaryansın ilgili değişkenlerin standart sapmalarının çarpımına oranlanması ile elde edilir.

Key Concept

Kanonik Değişkenlerin Ortogonalliği ve Doğrusal Kombinasyonların Varyansı

Estimated Time:3m 0s

PreviousPage 5 / 5

Kanonik Korelasyon Analizi

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes