Parametre Tahmin Yöntemleri Practice Questions — KPSS İstatistik — Page 11

Question 201Question →

Bir risk analisti, finansal bir varlığın getiri şoklarını $X$ rastgele değişkeni ile modellemektedir. Yapılan analizlerde $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonunun

f(x; \theta) = \frac{1}{2\theta} e^{-|x|/\theta}, \quad -\infty < x < \infty, \quad \theta > 0

biçiminde çift üstel (Laplace) dağılıma uyduğu belirlenmiştir. Analist, bu getiri şoklarının varyansını tahmin etmek için bir model geliştirecektir.

$X_1, X_2, \dots, X_n$ , bu dağılımdan çekilmiş $n$ birimlik bağımsız ve aynı dağılımlı rastgele bir örneklem olmak üzere, günlük getiri şoklarının varyansının ( $Var(X)$ ) yansız tahmin edicileri için Cramer-Rao alt sınırı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{16\theta^4}{n}

\frac{8\theta^4}{n}

\frac{4\theta^4}{n}

\frac{4\theta^3}{n}

\frac{16\theta^2}{n}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{16\theta^4}{n}$

Answer

Cramer-Rao alt sınırı

\frac{16\theta^4}{n}

olarak bulunur.

Cramer-Rao alt sınırı, bir

\theta

parametresinin bir fonksiyonu olan

\tau(\theta)

için

\frac{[\tau'(\theta)]^2}{n \cdot I(\theta)}

formülü ile bulunur. Soru, Laplace dağılımı için varyansın yansız tahmin edicisi için alt sınırı sormaktadır. Dağılımın varyansı

\tau(\theta) = 2\theta^2

şeklindedir ve türevi

\tau'(\theta) = 4\theta

'dır. Dağılımın log-olabilirlik fonksiyonunun ikinci türevinin beklenen değerinin negatifi alınarak Fisher Bilgi miktarı

I(\theta) = 1/\theta^2

olarak bulunur. Formülde yerine konulduğunda,

(4\theta)^2 / (n/\theta^2) = 16\theta^4/n

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Tahmin edilecek parametrik fonksiyonu (varyansı) belirleme

\tau(\theta) = Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 2\theta^2 - 0 = 2\theta^2

Cramer-Rao alt sınırını bulmak için öncelikle tahmin edilecek fonksiyonun

\theta

cinsinden karşılığı bulunmalıdır.

2

Parametrik fonksiyonun türevini alma

\tau'(\theta) = \frac{d}{d\theta}(2\theta^2) = 4\theta

Alt sınır formülünün pay kısmı için dönüştürülmüş fonksiyonun türevine ve karesine ihtiyaç vardır.

3

Tek bir gözlem için Fisher Bilgi miktarını (

I(\theta)

) hesaplama

\ln f(X;\theta) = -\ln(2\theta) - \frac{|X|}{\theta} \implies \frac{\partial^2 \ln f}{\partial \theta^2} = \frac{1}{\theta^2} - \frac{2|X|}{\theta^3} \implies -E\left[\frac{\partial^2 \ln f}{\partial \theta^2}\right] = \frac{1}{\theta^2}

Formülün paydası için dağılımın bilgi matrisi hesaplanmalıdır. Simgesel işlemde

E[|X|] = \theta

olduğu dikkate alınır.

4

Cramer-Rao alt sınırını hesaplama

CRLB = \frac{[\tau'(\theta)]^2}{n \cdot I(\theta)} = \frac{(4\theta)^2}{n(1/\theta^2)} = \frac{16\theta^2}{n/\theta^2} = \frac{16\theta^4}{n}

Bulunan değerler

\frac{[\tau'(\theta)]^2}{n \cdot I(\theta)}

formülünde yerine konularak alt sınır elde edilir.

Key Concept

Cramer-Rao Alt Sınırı ve Fonksiyonel Dönüşüm

Estimated Time:2m 30s

Question 202Question →

$X_1, X_2, \dots, X_n$ bağımsız ve özdeş dağılımlı (i.i.d.) rastgele değişkenler olmak üzere, kitleye ait olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x; \theta) = \begin{cases} \theta x^{-(\theta+1)}, & x \ge 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Burada $\theta > 0$ bilinmeyen bir parametredir.

Buna göre, bu dağılımın medyanının (ortanca değerinin) en çok olabilirlik tahmin edicisi aşağıdakilerden hangisidir?

2^{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln X_i}

2^{\frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln X_i}}

2^{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i}

e^{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln X_i}

\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln X_i

Show answer & explanation

Answer: $2^{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln X_i}$

Answer

Dağılımın medyanının en çok olabilirlik tahmin edicisi

2^{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln X_i}

olmalıdır.

Doğru çözüm için önce

\theta

'nın en çok olabilirlik tahmin edicisi (MLE) bulunur. Log-olabilirlik fonksiyonunun türevi sıfıra eşitlendiğinde

\hat{\theta} = n / \sum_{i=1}^n \ln X_i

elde edilir. Daha sonra medyan tanımından hareketle

\int_1^M f(x)dx = 0.5

eşitliği çözülür ve teorik medyan

M = 2^{1/\theta}

olarak bulunur. Değişmezlik (invariance) özelliği uyarınca,

\theta

yerine

\hat{\theta}

konulduğunda medyanın MLE'si

2^{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln X_i}

olur.

Step-by-Step Solution

1

Örneklemin olabilirlik fonksiyonunu (

L(\theta)

) ve log-olabilirlik fonksiyonunu (

\ln L(\theta)

) oluşturma.

L(\theta) = \prod_{i=1}^n \theta x_i^{-(\theta+1)} = \theta^n \prod_{i=1}^n x_i^{-(\theta+1)}

\ln L(\theta) = n \ln \theta - (\theta+1) \sum_{i=1}^n \ln x_i

En çok olabilirlik tahmin edicisini bulmak için fonksiyonun logaritmasını alarak türev işlemini kolaylaştırmak.

2

Log-olabilirlik fonksiyonunun

\theta

'ya göre türevini alıp sıfıra eşitleme.

\frac{\partial \ln L(\theta)}{\partial \theta} = \frac{n}{\theta} - \sum_{i=1}^n \ln x_i = 0 \implies \hat{\theta} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln x_i}

Fonksiyonu maksimum yapan

\theta

değerini (

\hat{\theta}

) bulmak.

3

Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonunu kullanarak dağılımın teorik medyanını (

M

) hesaplama.

\int_1^M \theta x^{-(\theta+1)} dx = 0.5 \implies \left[ -x^{-\theta} \right]_1^M = 1 - M^{-\theta} = 0.5 \implies M^\theta = 2 \implies M = 2^{1/\theta}

Medyan, birikimli olasılık fonksiyonunun (CDF) 0.5'e eşit olduğu değerdir.

4

En çok olabilirlik tahmin edicilerinin değişmezlik (invariance) özelliğini uygulama.

\hat{M} = 2^{1/\hat{\theta}} = 2^{\frac{\sum_{i=1}^n \ln X_i}{n}} = 2^{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln X_i}

Bir

\tau(\theta)

fonksiyonunun MLE'si,

\hat{\theta}

kullanılarak

\tau(\hat{\theta})

şeklinde elde edilir.

Key Concept

En Çok Olabilirlik Tahmin Edicilerinde Değişmezlik Özelliği (Invariance Property)

Question 203Question →

İstatistiksel çıkarım teorisinde, bilinmeyen bir $\theta$ parametresini tahmin etmek amacıyla bir $T_n$ tahmin edicisi önerilmiştir. Bu tahmin edicinin yan (bias) fonksiyonu $B(T_n) = \frac{c}{n}$ ve varyansı $V(T_n) = \frac{\theta^2}{n^2}$ olarak verilmiştir (Burada $c \neq 0$ sabit bir gerçel sayıdır).

Buna göre, $T_n$ tahmin edicisi için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Sonlu örneklem çaplarında yanlıdır, ancak örneklem çapı sonsuza giderken tutarlı bir tahmin edicidir.

Yanlı bir tahmin edici olduğu için hiçbir durumda tutarlı bir tahmin edici olamaz.

Her

n

örneklem çapı için yansızdır ve varyansı sıfıra yakınsadığı için tutarlıdır.

Asimptotik olarak yansızdır ancak ortalama hata karesi (MSE) sıfıra yakınsamadığı için tutarsızdır.

Ortalama hata karesi (MSE) ile varyans birbirine eşit olmadığı için tutarlılık özelliği incelenemez.

Show answer & explanation

Answer: Sonlu örneklem çaplarında yanlıdır, ancak örneklem çapı sonsuza giderken tutarlı bir tahmin edicidir.

Answer

Verilen tahmin edici sonlu örneklem çaplarında yanlıdır, ancak örneklem çapı sonsuza giderken tutarlı bir tahmin edicidir.

Doğru seçenek,

T_n

tahmin edicisinin sonlu örneklemlerde yanlı (

c/n \neq 0

) olduğunu, ancak Ortalama Hata Karesi'nin (MSE) limiti sıfıra gittiği için (

(\theta^2+c^2)/n^2 \to 0

) asimptotik olarak tutarlı bir tahmin edici olduğunu doğru bir biçimde ifade etmektedir.

Step-by-Step Solution

1

Tahmin edicinin sonlu n değerleri için yansızlığını kontrol et.

B(T_n) = \frac{c}{n}

ve

c \neq 0

olduğundan, her sonlu

n

için tahmin edici yanlıdır.

Yansız bir tahmin edicinin yan (bias) değeri tam olarak sıfır olmalıdır.

2

Tahmin edicinin asimptotik yansızlığını incele.

\lim_{n \to \infty} B(T_n) = \lim_{n \to \infty} \frac{c}{n} = 0

olduğu için

T_n

asimptotik yansızdır.

Örneklem çapı sonsuza giderken yan miktarının sıfıra yaklaşması asimptotik yansızlık şartıdır.

3

Tutarlılığı test etmek için Ortalama Hata Karesi (MSE) formülünü yaz ve hesapla.

MSE(T_n) = V(T_n) + [B(T_n)]^2 = \frac{\theta^2}{n^2} + (\frac{c}{n})^2 = \frac{\theta^2 + c^2}{n^2}

olarak bulunur.

MSE'nin sıfıra yakınsaması, tahmin edicinin tutarlı olması için yeterli bir koşuldur.

4

Örneklem çapı sonsuza giderken MSE'nin limitini al.

\lim_{n \to \infty} MSE(T_n) = \lim_{n \to \infty} \frac{\theta^2 + c^2}{n^2} = 0

sonucuna ulaşılır.

Limit 0 çıktığı için MSE yeter koşulu sağlanır ve

T_n

tutarlı bir tahmin edicidir.

Key Concept

Yanlı bir tahmin edicinin, varyansı ve yan miktarının karesi asimptotik olarak sıfıra gidiyorsa (yani MSE limiti sıfırsa) tutarlı bir tahmin edici olması.

Question 204Question →

Bir aktüerya uzmanı, belirli bir sigorta branşında hasar ihbar sürelerini (ay cinsinden) analiz etmektedir. Bu sürelerin $X_1, X_2, \dots, X_n$ rastgele örneklemi, olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilen dağılıma sahip bir kitleden çekilmiştir:

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{1}{\theta} e^{-\frac{x-\theta}{\theta}}, & x \geq \theta \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

Burada $\theta > 0$ bilinmeyen bir parametredir.

Buna göre, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi (Neyman Factorization Theorem) dikkate alındığında $\theta$ parametresi için yeterli (sufficient) istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

T(\mathbf{X}) = \left( \sum_{i=1}^n X_i, X_{(1)} \right)

T(\mathbf{X}) = \sum_{i=1}^n X_i

T(\mathbf{X}) = X_{(1)}

T(\mathbf{X}) = \left( \sum_{i=1}^n X_i, X_{(n)} \right)

T(\mathbf{X}) = \sum_{i=1}^n (X_i - X_{(1)})

Show answer & explanation

Answer: $T(\mathbf{X}) = \left( \sum_{i=1}^n X_i, X_{(1)} \right)$

Answer

Doğru cevap, hem veri toplamını hem de örneklem minimumunu içeren istatistik vektörüdür:

T(\mathbf{X}) = \left( \sum_{i=1}^n X_i, X_{(1)} \right)

.

Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonundan hareketle olabilirlik fonksiyonu

L(\theta|\mathbf{x}) = \frac{1}{\theta^n} \exp\left(-\frac{\sum x_i - n\theta}{\theta}\right) I(x_{(1)} \geq \theta)

şeklinde elde edilir. Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre, bu ifade

g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x})

biçiminde yazıldığında,

\theta

'yı barındıran

g

fonksiyonunun içindeki tüm veriye bağlı terimler yeterli istatistiği oluşturur. Formüldeki

e^n

kısmı

h(\mathbf{x})

olarak ayrıldığında, geriye kalan ifadede

\theta

ile bağ kuran değişkenler

\sum X_i

ve

X_{(1)}

'dir. Dolayısıyla ortak yeterli istatistik bu iki terimi içeren vektördür.

Step-by-Step Solution

1

Örneklem için olabilirlik (likelihood) fonksiyonunu oluşturun ve tanım kümesi kısıtını gösterge (indicator) fonksiyonu

I(x_i \geq \theta)

ile ifade edin.

L(\theta|\mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \left[ \frac{1}{\theta} e^{-\frac{x_i-\theta}{\theta}} I(x_i \geq \theta) \right]

Yeterli istatistiği bulmak için öncelikle tüm örneklemin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun (olabilirlik fonksiyonu) eksiksiz yazılması gerekir.

2

Çarpım işlemini uygulayarak olabilirlik fonksiyonunu basitleştirin ve gösterge fonksiyonlarını birleştirin.

L(\theta|\mathbf{x}) = \frac{1}{\theta^n} \exp\left(-\frac{\sum x_i - n\theta}{\theta}\right) \prod_{i=1}^n I(x_i \geq \theta)

Fonksiyonu Neyman Teoremi formuna getirmek için matematiksel sadeleştirmeler yapılmalıdır.

3

Üstel terimi düzenleyin ve

\prod I(x_i \geq \theta)

ifadesinin

I(x_{(1)} \geq \theta)

'ya eşit olduğunu belirleyin.

L(\theta|\mathbf{x}) = \frac{e^n}{\theta^n} \exp\left(-\frac{\sum x_i}{\theta}\right) I(x_{(1)} \geq \theta)

Tüm

x_i

değerlerinin

\theta

'dan büyük veya eşit olması, yalnızca en küçük değerin (minimumun)

\theta

'dan büyük veya eşit olması ile aynı anlama gelir.

4

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni (

L(\theta|\mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x})

) uygulayın.

g(T(\mathbf{x}), \theta) = \frac{1}{\theta^n} \exp\left(-\frac{\sum x_i}{\theta}\right) I(x_{(1)} \geq \theta)

ve

h(\mathbf{x}) = e^n

g

fonksiyonu içinde

\theta

parametresi ile ilişkili olan örneklem istatistikleri doğrudan yeterli istatistiği (sufficient statistic) verir.

5

g(T(\mathbf{x}), \theta)

fonksiyonundaki istatistikleri tespit edin.

Fonksiyonda

\sum x_i

ve

x_{(1)}

terimleri yer aldığından yeterli istatistik

T(\mathbf{X}) = \left( \sum_{i=1}^n X_i, X_{(1)} \right)

olarak bulunur.

Parametre boyutunun

1

olmasına rağmen, parametrenin hem konum hem ölçek belirlediği bu tip dağılımlarda minimal yeterli istatistik

2

boyutlu bir vektör olabilir.

Key Concept

Yeterlilik (Sufficiency) ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Question 205Question →

Bir makine parçasının aşınma miktarları, bilinmeyen bir $\theta > 0$ parametresine bağlı sürekli bir rassal değişken ile modellenmektedir. Bu rassal değişkene ait $X_1, X_2, \dots, X_n$ bağımsız rastgele örnekleminin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{3(\theta-x)^2}{\theta^3}, & 0 < x < \theta \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

$\theta$ parametresinin tahmini için $T = 5\bar{X}$ tahmin edicisi öneriliyor. (Burada $\bar{X}$ , örneklem ortalamasıdır.)

Buna göre, $T$ tahmin edicisinin Hata Kareler Ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{n+15}{16n}\theta^2

\frac{15}{16n}\theta^2

\frac{n+3}{16n}\theta^2

\frac{15-n}{16n}\theta^2

\frac{16n+15}{16n}\theta^2

Show answer & explanation

Answer: $\frac{n+15}{16n}\theta^2$

Answer

Hata Kareler Ortalaması (MSE) değerini veren

\frac{n+15}{16n}\theta^2

ifadesidir.

Bir tahmin edicinin Hata Kareler Ortalaması (MSE), tahmin edicinin varyansı ile yan miktarının karesinin toplamına (

MSE = Var(T) + Bias^2

) eşittir. Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonundan kitlenin beklenen değeri

E[X] = \theta/4

ve varyansı

Var(X) = 3\theta^2/80

olarak bulunur.

T = 5\bar{X}

tahmin edicisinin beklenen değeri

E[T] = 5\theta/4

olup, buradan tahmin edicinin yan miktarı

\theta/4

olarak hesaplanır. Tahmin edicinin varyansı ise

Var(T) = 25Var(\bar{X}) = 15\theta^2/16n

şeklinde elde edilir. Bu iki değer MSE formülünde yerine konulduğunda

\frac{15\theta^2}{16n} + \frac{\theta^2}{16} = \frac{n+15}{16n}\theta^2

doğru sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Kitlenin beklenen değerini (

E[X]

) hesaplamak.

E[X] = \int_0^\theta x \frac{3(\theta-x)^2}{\theta^3} dx = \frac{\theta}{4}

Tahmin edicinin (T) beklenen değerini bulmak için öncelikle tek bir gözlemin beklenen değerine ihtiyaç vardır.

2

Kitlenin varyansını (

Var(X)

) hesaplamak.

E[X^2] = \int_0^\theta x^2 \frac{3(\theta-x)^2}{\theta^3} dx = \frac{\theta^2}{10}

olup,

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{\theta^2}{10} - \frac{\theta^2}{16} = \frac{3\theta^2}{80}

bulunur.

Tahmin edicinin varyansını elde edebilmek için kitlenin varyansının bilinmesi gereklidir.

3

Tahmin edicinin yan miktarını (

Bias

) hesaplamak.

E[T] = E[5\bar{X}] = 5E[\bar{X}] = 5 \times \frac{\theta}{4} = \frac{5\theta}{4}

olup, Yan =

E[T] - \theta = \frac{5\theta}{4} - \theta = \frac{\theta}{4}

olarak hesaplanır.

Tahmin edici yanlıdır ve Hata Kareler Ortalaması (MSE) hesabı için yan miktarının karesine ihtiyaç vardır.

4

Tahmin edicinin varyansını (

Var(T)

) bulmak.

Var(T) = Var(5\bar{X}) = 25Var(\bar{X}) = 25 \times \frac{Var(X)}{n} = 25 \times \frac{3\theta^2}{80n} = \frac{75\theta^2}{80n} = \frac{15\theta^2}{16n}

bulunur.

MSE formülünün ikinci bileşeni olan varyansı elde etmek için hesaplanır.

5

Hata Kareler Ortalaması (MSE) değerini bulmak.

MSE(T) = Var(T) + Bias^2 = \frac{15\theta^2}{16n} + (\frac{\theta}{4})^2 = \frac{15\theta^2}{16n} + \frac{\theta^2}{16} = \frac{n+15}{16n}\theta^2

sonucuna ulaşılır.

MSE değeri, tahmin edicinin varyansı ile yan miktarının karesinin toplamıdır.

Key Concept

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Yansızlık ve Hata Kareler Ortalaması (MSE)

Question 206Question →

Bir istatistik uzmanı, ortalaması $\theta$ ve varyansı $1$ olan normal dağılıma sahip bir kitleden alınan tek bir $X$ gözlemi ile $\theta$ parametresini tahmin etmek istemektedir. Geçmiş çalışmalardan ve fiziksel kısıtlardan dolayı parametre uzayının $\theta \in [-2, 2]$ aralığı ile sınırlı olduğu bilinmektedir.

Uzman, karesel hata kayıp fonksiyonu $L(\theta, d) = (d - \theta)^2$ altında sadece $\hat{\theta}_c = cX \quad (0 \le c \le 1)$ formundaki tahmin edicileri dikkate almaktadır.

Buna göre, bu sınıf içindeki tahmin ediciler arasında minimax olan tahmin edici aşağıdakilerden hangisidir?

X

\frac{2}{3}X

\frac{4}{5}X

\frac{1}{2}X

\frac{1}{5}X

Show answer & explanation

Answer: $\frac{4}{5}X$

Answer

\frac{4}{5}X

formundaki tahmin edici

Minimax tahmin edici, maksimum riski en küçük (minimize) yapan tahmin edicidir. Karesel hata kayıp fonksiyonu altında

\hat{\theta}_c = cX

tahmin edicisinin riski (MSE) hesaplandığında

R(\theta, cX) = c^2 + \theta^2(1-c)^2

elde edilir. Parametre uzayı

\theta \in [-2, 2]

ile sınırlı olduğundan, bu risk fonksiyonu

\theta^2 = 4

noktasında en büyük değerini alır. Maksimum risk fonksiyonu

g(c) = c^2 + 4(1-c)^2 = 5c^2 - 8c + 4

olarak yazılır. Bu ifadenin

c

'ye göre birinci türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde (

10c - 8 = 0

), maksimum riski minimize eden katsayı

c = \frac{4}{5}

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Tahmin edici sınıfının risk fonksiyonunu

R(\theta, \hat{\theta}_c) = E[(cX - \theta)^2]

kuralına göre hesapla.

R(\theta, cX) = \text{Var}(cX) + [\text{Yan}(cX)]^2 = c^2\text{Var}(X) + (c\theta - \theta)^2 = c^2(1) + \theta^2(c-1)^2 = c^2 + \theta^2(1-c)^2

Karesel hata kayıp fonksiyonu altında risk, Hata Kareler Ortalamasına (MSE) eşittir ve MSE her zaman varyans ile yanlılığın karesinin toplamıdır.

2

Verilen parametre aralığında (

\theta \in [-2, 2]

) hesaplanan risk fonksiyonunun alabileceği maksimum değeri bul.

0 \le c \le 1

olduğundan

(1-c)^2 \ge 0

'dır ve risk fonksiyonu

\theta^2

'nin artan bir fonksiyonudur.

\theta \in [-2, 2]

için

\max(\theta^2) = 4

olacağından, Maksimum Risk

= c^2 + 4(1-c)^2

elde edilir.

Minimax kuralı, önce her bir tahmin edici (

c

değeri) için parametre uzayındaki 'en kötü durumu' (maksimum riski) bulmayı gerektirir.

3

Maksimum risk fonksiyonunu

c

'ye göre minimize eden değeri türev yardımıyla bul.

g(c) = c^2 + 4(1-c)^2 = 5c^2 - 8c + 4

. Türev alınarak:

g'(c) = 10c - 8 = 0 \implies c = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}

bulunur.

Minimax tahmin edici, maksimum riski en küçük yapan tahmin edicidir.

Key Concept

Sınırlı Parametre Uzayında Minimax Tahmin

Question 207Question →

Orman Genel Müdürlüğü tarafından yürütülen bir araştırmada, belirli bir bölgede bir ay içinde çıkan orman yangını sayısı $\lambda$ parametreli Poisson dağılımına uygun olarak modellenmektedir. $n$ farklı bölgeden elde edilen rastgele örneklem $X_1, X_2, \ldots, X_n$ ile gösterilmektedir.

Kurumun risk analizi raporunda, bir bölgede tam olarak 1 yangın çıkma olasılığı olan $P(X=1) = \lambda e^{-\lambda}$ parametrik fonksiyonunun en iyi yansız tahmini raporlanacaktır.

Buna göre, tam ve yeterli istatistik $T = \sum_{i=1}^n X_i$ olmak üzere, Lehmann-Scheffe teoremi kullanılarak elde edilen Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{T}{n} \left( \frac{n-1}{n} \right)^{T-1}

\frac{T}{n} e^{-T/n}

\left( \frac{n-1}{n} \right)^T

T \left( \frac{n-1}{n} \right)^{T-1}

\frac{T-1}{n} \left( \frac{n-1}{n} \right)^{T}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{T}{n} \left( \frac{n-1}{n} \right)^{T-1}$

Answer

\frac{T}{n} \left( \frac{n-1}{n} \right)^{T-1}

Lehmann-Scheffe teoremi uyarınca,

\lambda e^{-\lambda}

için başlangıç yansız tahmin edicisi olarak

W = I(X_1=1)

indikatör fonksiyonu tanımlanır. Bu fonksiyonun tam ve yeterli istatistik

T = \sum X_i

verildiğindeki koşullu beklenen değeri

E[W \mid T = t] = P(X_1 = 1 \mid T=t)

bize UMVUE'yi verir. Poisson toplamları koşulu altında marjinal dağılım Binom

(t, 1/n)

olduğundan, hesaplama sonucu

\frac{t}{n} \left( \frac{n-1}{n} \right)^{t-1}

çıkar.

t

yerine istatistiğin kendisi olan

T

yazıldığında doğru formüle ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

P(X=1) = \lambda e^{-\lambda}

için basit bir yansız tahmin edici (başlangıç tahmin edicisi) belirlemek.

W = I(X_1 = 1)

indikatör fonksiyonunu seçeriz. Eğer

X_1 = 1

ise

W=1

, aksi halde

W=0

. Bu durumda

E[W] = P(X_1=1) = \lambda e^{-\lambda}

olur.

Rao-Blackwell ve Lehmann-Scheffe teoremini uygulayabilmek için öncelikle parametrik fonksiyonun herhangi bir yansız tahmin edicisine ihtiyacımız vardır.

2

Tam ve yeterli istatistik verildiğinde,

W

'nin bu istatistiğe göre koşullu beklenen değerini kurgulamak.

\phi(T) = E[W \mid T = t] = P(X_1 = 1 \mid \sum_{i=1}^n X_i = t)

hesaplanmalıdır.

Lehmann-Scheffe teoremine göre, yansız bir tahmin edicinin tam ve yeterli bir istatistiğe göre koşullu beklenen değeri tek (unique) UMVUE'dir.

3

X_1

'in

\sum X_i = t

koşulu altındaki dağılımını belirlemek.

Poisson dağılımlı bağımsız değişkenlerin toplamı verildiğinde, tek bir değişkenin koşullu dağılımı Binom dağılımıdır.

X_1 \mid \sum X_i = t \sim \text{Binom}(t, \frac{1}{n})

.

Olasılık kütle fonksiyonlarının oranlanmasıyla

P(X_1 = x \mid \sum X_i = t) = \binom{t}{x} (1/n)^x (1 - 1/n)^{t-x}

elde edilir.

4

Koşullu olasılığı

x = 1

için hesaplamak ve UMVUE'yi elde etmek.

P(X_1 = 1 \mid T=t) = \binom{t}{1} \left(\frac{1}{n}\right)^1 \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{t-1} = \frac{t}{n} \left(\frac{n-1}{n}\right)^{t-1}

. Dolayısıyla UMVUE:

\frac{T}{n} \left(\frac{n-1}{n}\right)^{T-1}

olarak bulunur.

Bulunan bu fonksiyon

T

'ye bağlıdır ve Lehmann-Scheffe teoremine göre aranan en iyi yansız tahmin edicidir.

Key Concept

Poisson dağılımında tam ve yeterli istatistik kullanılarak koşullu beklenen değer yoluyla UMVUE elde edilmesi (Lehmann-Scheffe Teoremi).

Question 208Question →

Bir çağrı merkezinde müşteri temsilcisi olarak çalışan personelin, başarılı bir satış gerçekleştirmesi olasılığı $p$ ile gösterilmektedir ( $0 < p < 1$ ). Her bir personelin gerçekleştirdiği aramalar bağımsızdır ve her aramanın başarılı satışla sonuçlanma olasılığı aynıdır.

Bir personelin tam olarak 3. başarılı satışını gerçekleştirmesi için yapması gereken toplam arama sayısı

X

rastgele değişkeni ile modellenmektedir.

X

değişkeninin olasılık fonksiyonu şu şekildedir:

f(x; p) = \binom{x-1}{2} p^3 (1-p)^{x-3}, \quad x = 3, 4, 5, \dots

Bu çağrı merkezinden $n$ personelin tam olarak 3. satışını yapana kadar gerçekleştirdikleri toplam arama sayıları gözlemlenmiş ve $X_1, X_2, \dots, X_n$ rastgele örneklemi elde edilmiştir.

Buna göre, bir personelin 3. satışını yapana kadar gerçekleştirdiği arama sayısının varyansı için oluşturulacak herhangi bir yansız tahmin edicinin Cramer-Rao alt sınırı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{3(1-p)}{n p^2}

\frac{3(2-p)^2(1-p)}{p^4}

\frac{p^2(1-p)}{3n}

\frac{3(2-p)^2(1-p)}{n p^4}

\frac{3(2-p)^2}{n p^4}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{3(2-p)^2(1-p)}{n p^4}$

Answer

İstenilen varyans fonksiyonunun Cramer-Rao alt sınırı

\frac{3(2-p)^2(1-p)}{n p^4}

ifadesine eşittir.

Cramer-Rao alt sınırı (CRLB), bir parametrenin fonksiyonu olan

\tau(p)

için

\frac{[\tau'(p)]^2}{n \cdot I(p)}

formülü ile hesaplanır. Soruda

\tau(p)

,

X

değişkeninin varyansı olarak verilmiştir. Negatif Binom dağılımına uyan (3 başarı için beklenen arama)

X

için varyans

\tau(p) = \frac{3(1-p)}{p^2}

'dir. Bu fonksiyonun türevinin karesi

[\tau'(p)]^2 = \frac{9(2-p)^2}{p^6}

olarak bulunur. Öte yandan tek bir gözlem için Fisher bilgi miktarı

I(p) = -E\left[\frac{\partial^2 \ln f}{\partial p^2}\right] = \frac{3}{p^2(1-p)}

şeklindedir. Formülde bu iki değer yerine yazıldığında doğru sonuç

\frac{3(2-p)^2(1-p)}{n p^4}

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Olasılık fonksiyonunun doğal logaritmasını almak.

\ln f(x; p) = \ln \binom{x-1}{2} + 3\ln p + (x-3)\ln(1-p)

Fisher bilgi miktarını hesaplamak için log-olabilirlik fonksiyonunun

p

'ye göre türevlerine ihtiyaç vardır.

2

Log-olabilirlik fonksiyonunun

p

'ye göre birinci ve ikinci türevlerini almak.

\frac{\partial \ln f}{\partial p} = \frac{3}{p} - \frac{x-3}{1-p}

ve

\frac{\partial^2 \ln f}{\partial p^2} = -\frac{3}{p^2} - \frac{x-3}{(1-p)^2}

Fisher bilgi miktarı, ikinci türevin beklenen değerinin negatif işaretlisine eşittir.

3

Tek bir gözlem için Fisher bilgi miktarını (

I(p)

) hesaplamak.

I(p) = -E\left[ -\frac{3}{p^2} - \frac{X-3}{(1-p)^2} \right] = \frac{3}{p^2} + \frac{E[X]-3}{(1-p)^2}

. Burada

E[X] = \frac{3}{p}

yerine yazılırsa

I(p) = \frac{3}{p^2} + \frac{\frac{3}{p}-3}{(1-p)^2} = \frac{3}{p^2(1-p)}

bulunur.

n

hacimli örneklemin toplam bilgi miktarını (

n \cdot I(p)

) bulmak için öncelikle tek gözlemin bilgi miktarı bulunmalıdır.

4

Tahmin edilecek

\tau(p)

fonksiyonunun

p

'ye göre türevini hesaplamak.

Soruda varyans istenmektedir. Negatif Binom dağılımı için varyans

\tau(p) = \frac{3(1-p)}{p^2} = 3p^{-2} - 3p^{-1}

şeklindedir. Türevi

\tau'(p) = -6p^{-3} + 3p^{-2} = \frac{3p-6}{p^3} = -\frac{3(2-p)}{p^3}

olur. Karesi alınırsa

[\tau'(p)]^2 = \frac{9(2-p)^2}{p^6}

elde edilir.

Cramer-Rao alt sınırı formülünün pay kısmında, tahmin edilen fonksiyonun türevinin karesi yer alır.

5

Cramer-Rao alt sınırını (CRLB) oluşturmak.

CRLB =

\frac{[\tau'(p)]^2}{n \cdot I(p)} = \frac{\frac{9(2-p)^2}{p^6}}{n \cdot \frac{3}{p^2(1-p)}} = \frac{3(2-p)^2(1-p)}{n p^4}

hesaplanır.

Herhangi bir yansız tahmin edicinin varyansının alabileceği minimum değer (alt sınır) sonuca ulaştırılır.

Key Concept

Bir parametrenin fonksiyonunun (

\tau(\theta)

) Cramer-Rao Alt Sınırının hesaplanması ve Fisher Bilgi Miktarı.

Question 209Question →

Bir endüstriyel üretim tesisinde üretilen hassas bir makine parçasının aşınma tolerans değerleri $X$ rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu $\theta > 0$ olmak üzere aşağıda verilmiştir:

f(x;\theta) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\theta^2}} \exp\left( -\frac{(x-\theta)^2}{2\theta^2} \right), \quad -\infty < x < \infty

Bu üretim hattından $n$ çaplı bağımsız rastgele örneklem alınmıştır.

Buna göre, kitle varyansı olan $\tau(\theta) = \theta^2$ parametresinin yansız bir tahmin edicisi için Cramer-Rao alt sınırı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{4\theta^4}{3n}

\frac{\theta^2}{3n}

\frac{4\theta^4}{n}

\frac{2\theta^4}{n}

\frac{4\theta^4}{3}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{4\theta^4}{3n}$

Answer

İstenen parametrenin yansız tahmin edicisi için Cramer-Rao alt sınırı

\frac{4\theta^4}{3n}

olarak bulunur.

Cramer-Rao alt sınırını (CRLB) bulmak için öncelikle Fisher bilgisi hesaplanmalıdır.

X \sim N(\theta, \theta^2)

dağılımının log-olabilirlik fonksiyonunun

\theta

'ya göre ikinci türevi alındığında ve eksi beklenen değeri hesaplandığında, tek bir gözlem için Fisher bilgisi

I_1(\theta) = \frac{3}{\theta^2}

olarak bulunur.

n

çaplı örneklem için bu değer

n

ile çarpılarak

I_n(\theta) = \frac{3n}{\theta^2}

elde edilir. Soruda bizden kitle varyansı olan

\tau(\theta) = \theta^2

parametresinin yansız tahmin edicisi için alt sınır istenmektedir. Alt sınır formülünün pay kısmı için

\tau'(\theta) = 2\theta

alınır ve formül uygulandığında

\text{CRLB} = \frac{(2\theta)^2}{3n/\theta^2} = \frac{4\theta^4}{3n}

doğru sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen dağılım için tek bir gözlemin log-olabilirlik fonksiyonunu

\ln f(x;\theta)

elde etmek.

\ln f(x;\theta) = -\frac{1}{2}\ln(2\pi) - \ln\theta - \frac{x^2 - 2x\theta + \theta^2}{2\theta^2} = -\frac{1}{2}\ln(2\pi) - \ln\theta - \frac{x^2}{2\theta^2} + \frac{x}{\theta} - \frac{1}{2}

Fisher bilgi matrisini bulmak için dağılımın logaritmasına ve bu ifadenin parametreye göre türevlerine ihtiyaç vardır.

2

Log-olabilirlik fonksiyonunun

\theta

'ya göre birinci ve ikinci mertebeden kısmi türevlerini almak.

Birinci türev:

\frac{\partial \ln f}{\partial \theta} = -\frac{1}{\theta} + \frac{x^2}{\theta^3} - \frac{x}{\theta^2}

.
İkinci türev:

\frac{\partial^2 \ln f}{\partial \theta^2} = \frac{1}{\theta^2} - \frac{3x^2}{\theta^4} + \frac{2x}{\theta^3}

.

Fisher bilgisini hesaplamak için log-olabilirlik fonksiyonunun ikinci türevinin beklenen değerinin negatifini almamız gerekir.

3

Tek bir gözlem için Fisher bilgisi olan

I_1(\theta) = -E\left[\frac{\partial^2 \ln f}{\partial \theta^2}\right]

değerini hesaplamak.

Dağılımdan

E[X] = \theta

ve

E[X^2] = Var(X) + (E[X])^2 = \theta^2 + \theta^2 = 2\theta^2

olduğu bilinmektedir. İkinci türevde yerlerine konulduğunda:

E\left[\frac{\partial^2 \ln f}{\partial \theta^2}\right] = \frac{1}{\theta^2} - \frac{3(2\theta^2)}{\theta^4} + \frac{2\theta}{\theta^3} = \frac{1}{\theta^2} - \frac{6}{\theta^2} + \frac{2}{\theta^2} = -\frac{3}{\theta^2}

.
Böylece

I_1(\theta) = \frac{3}{\theta^2}

ve

n

örneklem için

I_n(\theta) = \frac{3n}{\theta^2}

olur.

Cramer-Rao alt sınırının paydasını oluşturacak örneklem Fisher bilgisini (

I_n

) bulmak.

4

Tahmin edilmek istenen

\tau(\theta) = \theta^2

parametresi için Cramer-Rao alt sınırı formülünü uygulamak.

\tau'(\theta) = 2\theta

elde edilir. Formülde yerine konulduğunda:

\text{CRLB} = \frac{[\tau'(\theta)]^2}{I_n(\theta)} = \frac{(2\theta)^2}{3n/\theta^2} = \frac{4\theta^2}{3n/\theta^2} = \frac{4\theta^4}{3n}

sonucuna ulaşılır.

Parametrenin bir fonksiyonu (burada kitle varyansı olan

\theta^2

) tahmin edildiğinde, alt sınır formülünün pay kısmına o fonksiyonun türevinin karesi gelmelidir.

Key Concept

Cramer-Rao Alt Sınırı ve Fisher Bilgi Matrisi

Question 210Question →

Bir malzeme mühendisi, yeni üretilen kompozit bir malzemenin kırılma gerilimini (MPa cinsinden) incelemektedir. Kırılma gerilimini temsil eden $X$ rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, $\theta > 0$ bilinmeyen bir parametre olmak üzere,

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{2x}{\theta} e^{-\frac{x^2}{\theta}}, & x > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

şeklinde modellenmiştir.

Bu malzemeden rastgele seçilen $n$ birimlik $X_1, X_2, \dots, X_n$ bağımsız örneklemi temel alındığında, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre $\theta$ parametresi için yeterli (sufficient) istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

\sum_{i=1}^n X_i

\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2

\sum_{i=1}^n X_i^2

\prod_{i=1}^n X_i

\max(X_1, X_2, \dots, X_n)

Show answer & explanation

Answer: $\sum_{i=1}^n X_i^2$

Answer

\sum_{i=1}^n X_i^2

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre, olabilirlik fonksiyonu

L(\theta; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x})

formunda yazılabilmelidir. Verilen dağılım için olabilirlik fonksiyonu oluşturulup düzenlendiğinde, üstel ifadenin içinde

\sum_{i=1}^n X_i^2

terimi ortaya çıkar ve parametre olan

\theta

'ya bağlı bileşen yalnızca bu toplam üzerinden örneklem değerlerine bağımlıdır. Çarpanlarına ayrılmış fonksiyonda, parametre bağımlılığını taşıyan tek örneklem fonksiyonu budur; bu nedenle yeterli istatistik

\sum_{i=1}^n X_i^2

olur.

Step-by-Step Solution

1

n

çaplı bağımsız örneklem için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu olan olabilirlik (likelihood) fonksiyonunu oluşturmak.

L(\theta; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \left( \frac{2x_i}{\theta} e^{-\frac{x_i^2}{\theta}} \right)

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi, yeterli istatistiğin doğrudan olabilirlik fonksiyonunun yapısından elde edilmesine dayanır.

2

Olabilirlik fonksiyonundaki çarpım işlemlerini düzenleyerek terimleri gruplandırmak.

L(\theta; \mathbf{x}) = \frac{2^n}{\theta^n} \left( \prod_{i=1}^n x_i \right) e^{-\frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n x_i^2}

Fonksiyonu, sadece gözlemlere bağlı olan bir kısım ile hem parametreyi hem de örneklem istatistiğini içeren diğer bir kısım olarak iki çarpan halinde yazmak gereklidir.

3

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'nin

L(\theta; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x})

formunu uygulayarak

T(\mathbf{x})

yeterli istatistiğini belirlemek.

Burada

h(\mathbf{x}) = 2^n \prod_{i=1}^n x_i

(sadece örnekleme bağlı) ve

g(T(\mathbf{x}), \theta) = \frac{1}{\theta^n} e^{-\frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n x_i^2}

olarak ayrılır. Parametre

\theta

'ya bağlı kısımdaki örneklem fonksiyonu

T(\mathbf{X}) = \sum_{i=1}^n X_i^2

'dir.

Teoreme göre, parametreyi barındıran çarpan

g(T(\mathbf{x}), \theta)

formunda olmalıdır. Bu durum,

T(\mathbf{x})

istatistiğinin yeterli olduğunu kanıtlar.

Key Concept

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi kullanılarak bir parametre için yeterli (sufficient) istatistiğin bulunması

Alternative Method

Olabilirlik fonksiyonunun doğrudan doğal logaritmasını alarak log-olabilirlik (

ln L

) fonksiyonunu oluşturmak ve bu fonksiyonun parametreye (

\theta

) bağlı olan terimlerindeki istatistiği incelemek de (Çarpanlara Ayırma Teoremi'nin logaritmik formu) aynı yeterli istatistiği verecektir.

Estimated Time:1m 30s

Question 211Question →

Bir kitleye ait bilinmeyen $\theta \in [0, 1]$ parametresinin tahmini için önerilen üç farklı tahmin edicinin ( $T_1, T_2$ ve $T_3$ ), karesel kayıp fonksiyonu altında elde edilen risk fonksiyonları aşağıda verilmiştir:

R(\theta, T_1) = 2\theta(1-\theta)

R(\theta, T_2) = \frac{2}{5}

R(\theta, T_3) = \theta^2

Buna göre, minimax prensibini kullanan bir araştırmacının seçeceği tahmin edici ve bu tahmin edicinin garanti edilen maksimum riski aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

Tahmin Edici:

T_2

, Maksimum Risk:

\frac{2}{5}

Tahmin Edici:

T_1

, Maksimum Risk:

\frac{1}{2}

Tahmin Edici:

T_1

, Maksimum Risk:

\frac{1}{3}

Tahmin Edici:

T_3

, Maksimum Risk:

1

Tahmin Edici:

T_3

, Maksimum Risk:

0

Show answer & explanation

Answer: Tahmin Edici: $T_2$ , Maksimum Risk: $\frac{2}{5}$

Answer

Tahmin Edici: T2, Maksimum Risk: 2/5

Minimax tahmin edici, maksimum riski en küçük yapan tahmin edicidir. Verilen risk fonksiyonlarının [0, 1] aralığındaki maksimum değerleri sırasıyla; T1 için 1/2, T2 için 2/5 ve T3 için 1'dir. Bu değerler (0.5, 0.4 ve 1.0) arasında en küçük olan 2/5 olduğundan, minimax prensibine göre T2 tahmin edicisi seçilmelidir.

Step-by-Step Solution

1

T_1

tahmin edicisi için

\theta \in [0, 1]

aralığında risk fonksiyonunun maksimum değerini bulun.

R(\theta, T_1) = 2\theta - 2\theta^2

türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde

\theta = 1/2

bulunur. Maksimum risk:

R(1/2, T_1) = 2(1/2)(1/2) = 1/2

'dir.

Minimax prensibi, öncelikle her bir tahmin edicinin alabileceği en yüksek risk değerinin belirlenmesini gerektirir.

2

T_2

tahmin edicisi için risk fonksiyonunun maksimum değerini bulun.

R(\theta, T_2) = 2/5

sabit bir fonksiyondur, dolayısıyla

\theta

'dan bağımsız olarak maksimum riski

2/5

'tir.

Sabit risk fonksiyonlarının maksimum değeri fonksiyonun kendisine eşittir.

3

T_3

tahmin edicisi için risk fonksiyonunun maksimum değerini bulun.

R(\theta, T_3) = \theta^2

artan bir fonksiyondur.

[0, 1]

aralığında maksimum değerini

\theta = 1

noktasında alır ve maksimum riski

1

'dir.

Artan fonksiyonlar en büyük değerini tanım kümesinin sağ uç noktasında alırlar.

4

Elde edilen maksimum risk değerlerini karşılaştırarak en küçük olanı (minimax) seçin.

Maksimum riskler

1/2

(0.5),

2/5

(0.4) ve

1

'dir.

\min(0.5, 0.4, 1) = 0.4

olduğundan en küçük maksimum riski veren tahmin edici

T_2

'dir.

Minimax tahmin edici, en kötü durumu (maksimum riski) minimize eden tahmin edicidir.

Key Concept

Minimax Tahmin Edici (Kayıp Fonksiyonları ve Risk)

Estimated Time:1m 30s

Question 212Question →

Bir finansal analist, ortalaması sıfır ve varyansı $\theta$ ( $\theta > 0$ ) olan normal dağılıma sahip bağımsız $X_1, X_2, \dots, X_n$ rastgele değişkenleri ile bir istatistiksel model kurmaktadır. Analist, bilinmeyen $\theta$ varyans parametresini tahmin etmek için $T = c \sum_{i=1}^{n} X_i^2$ biçiminde bir tahmin edici önermektedir.

Buna göre, $T$ tahmin edicisinin hata kareler ortalamasını (MSE) en küçük yapan $c$ sabiti aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1}{n-1}

\frac{1}{n}

\frac{1}{n+1}

\frac{1}{n+2}

\frac{2}{n+2}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{1}{n+2}$

Answer

Hata kareler ortalamasını (MSE) minimum yapan değer

\frac{1}{n+2}

katsayısıdır.

Tahmin edicinin hata kareler ortalaması (MSE), varyansı ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir (

MSE = Var + Bias^2

). Verilen değişkenler için

E[X_i^2] = \theta

ve

Var(X_i^2) = 2\theta^2

bilgileri kullanılarak

T

istatistiğinin varyansı

2nc^2\theta^2

ve yanı

\theta(cn-1)

olarak bulunur. MSE denklemi

c

'ye bağlı bir fonksiyon olarak yazılıp türevi sıfıra eşitlendiğinde

c = \frac{1}{n+2}

katsayısı MSE'yi minimum yapan değer olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

T = c \sum_{i=1}^n X_i^2

tahmin edicisinin beklenen değerini ve varyansını hesaplamak.

X_i \sim N(0, \theta)

olduğundan

E[X_i^2] = \theta

ve

Var(X_i^2) = 2\theta^2

olur. Buradan

E[T] = cn\theta

ve

Var(T) = c^2(2n\theta^2)

olarak bulunur.

Hata kareler ortalaması (MSE) hesaplaması için tahmin edicinin varyansına ve yan (bias) miktarına ihtiyaç vardır.

2

Tahmin edicinin yan (bias) miktarını belirlemek.

Bias(T) = E[T] - \theta = cn\theta - \theta = \theta(cn - 1)

Bir tahmin edicinin MSE'si, varyansı ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir.

3

MSE fonksiyonunu oluşturup minimum yapan

c

değerini tespit etmek.

MSE(T) = 2nc^2\theta^2 + \theta^2(cn - 1)^2 = \theta^2[c^2(n^2 + 2n) - 2cn + 1]

. Bu ifadenin

c

'ye göre türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde

2c(n^2 + 2n) - 2n = 0 \implies c = \frac{1}{n+2}

elde edilir.

Sürekli ve türevlenebilir bir fonksiyonun minimum değerini bulmak için birinci türevi sıfıra eşitlenir.

Key Concept

Hata Kareler Ortalaması (MSE) Minimizasyonu

Alternative Method

X_i \sim N(0, \theta)

olduğundan

X_i/\sqrt{\theta} \sim N(0,1)

ve

\sum (X_i^2/\theta) \sim \chi^2_n

bağıntısı kullanılarak varyans ve beklenen değer hesaplamaları,

n

serbestlik dereceli Ki-kare dağılımının özellikleri (

E[Q]=n, Var(Q)=2n

) üzerinden daha hızlı bir şekilde yapılabilir.

Estimated Time:2m 0s

Question 213Question →

Bir rüzgâr enerjisi santrali projesi kapsamında, belirli bir bölgedeki günlük maksimum rüzgâr hızları (m/s) ölçülmektedir. Gözlemlenen rüzgâr hızlarının ( $X$ ), $\theta > 0$ bilinmeyen bir parametre olmak üzere olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi olan bir dağılıma uyduğu kabul edilmektedir:

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{2x}{\theta} e^{-\frac{x^2}{\theta}}, & x > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Bu bölgeden bağımsız ve özdeş dağılımlı olarak $n$ günlük rastgele bir örneklem ( $X_1, X_2, \dots, X_n$ ) alındığına göre, $\theta$ parametresinin en çok olabilirlik (maximum likelihood) tahmin edicisi aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1}{2n} \sum_{i=1}^n X_i^2

\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2}

\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2

\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i

\frac{2}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2

Show answer & explanation

Answer: $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2$

Answer

\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2

ifadesi parametrenin doğru en çok olabilirlik tahmin edicisidir.

Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonunun ortak olabilirlik fonksiyonu (L) yazıldıktan sonra, fonksiyonun logaritması alınmış ve

\theta

parametresine göre türevi sıfıra eşitlenmiştir. Bu türev işleminden elde edilen denklem

\theta

için çözüldüğünde

\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2

eşitliği doğrudan bulunmaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Örneklem için olabilirlik (likelihood) fonksiyonu

L(\theta)

'yı oluşturmak.

L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(X_i; \theta) = \prod_{i=1}^n \left( \frac{2X_i}{\theta} e^{-\frac{X_i^2}{\theta}} \right) = \frac{2^n \prod_{i=1}^n X_i}{\theta^n} e^{-\frac{1}{\theta}\sum_{i=1}^n X_i^2}

En çok olabilirlik tahmin edicisini bulmak için tüm bağımsız gözlemlerin olasılık yoğunluk fonksiyonlarının ortak çarpımı elde edilmelidir.

2

Olabilirlik fonksiyonunun doğal logaritmasını alarak log-olabilirlik

l(\theta)

fonksiyonunu yazmak.

l(\theta) = n \ln 2 + \sum_{i=1}^n \ln X_i - n \ln \theta - \frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n X_i^2

Çarpım durumundaki bir fonksiyonu maksimize etmek yerine, onun monoton artan bir fonksiyonu olan logaritmasını alarak toplam formuna çevirip maksimize etmek türev almayı kolaylaştırır.

3

Log-olabilirlik fonksiyonunun bilinmeyen

\theta

parametresine göre birinci türevini almak ve sıfıra eşitlemek.

\frac{\partial l(\theta)}{\partial \theta} = -\frac{n}{\theta} + \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^n X_i^2 = 0

Bir fonksiyonun maksimum noktasını bulmak için birinci türevinin sıfır olduğu ekstremum noktası tespit edilmelidir.

4

Denklemi düzenleyerek

\theta

için çözmek.

\frac{n}{\theta} = \frac{\sum_{i=1}^n X_i^2}{\theta^2} \implies n\theta = \sum_{i=1}^n X_i^2 \implies \hat{\theta} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2

Elde edilen denklemdeki

\theta

çekilerek en çok olabilirlik tahmin edicisine (MLE) ulaşılır.

Key Concept

En Çok Olabilirlik Yöntemi ile Nokta Tahmini

Question 214Question →

Bir kamu kurumu, belirli bir teşvik programından yararlanan işletmelerin yıllık vergi matrahlarını (milyon TL cinsinden) $X$ rastgele değişkeni ile modellemektedir. $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu, $\theta > 1$ bilinmeyen bir parametre olmak üzere aşağıda verilmiştir:

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{\theta}{x^{\theta+1}}, & x \geq 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Bu kuruma başvuran işletmelerden rastgele seçilen $n$ tanesinin vergi matrahları $X_1, X_2, \dots, X_n$ şeklinde gözlemlenmiştir.

Buna göre, $\theta$ parametresinin momentler yöntemi (MoM) tahmin edicisi aşağıdakilerden hangisidir? (Burada $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ örneklem ortalamasını göstermektedir.)

\frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln(X_i)}

\frac{1}{\bar{X}-1}

\frac{\bar{X}}{\bar{X}-1}

\frac{\bar{X}-1}{\bar{X}}

\frac{\bar{X}}{\bar{X}+1}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{\bar{X}}{\bar{X}-1}$

Answer

\frac{\bar{X}}{\bar{X}-1}

Momentler yönteminde ilk adım kitlenin beklenen değerini bulmaktır. Verilen Pareto benzeri dağılım için

E[X] = \frac{\theta}{\theta-1}

olarak hesaplanır. Daha sonra bu teorik moment, birinci örneklem momentine (

\bar{X}

) eşitlenir. Kurulan

\frac{\theta}{\theta-1} = \bar{X}

denklemi

\theta

için çözüldüğünde

\hat{\theta} = \frac{\bar{X}}{\bar{X}-1}

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Dağılımın birinci teorik momentini (beklenen değerini) hesaplayın.

E[X] = \int_{1}^{\infty} x \frac{\theta}{x^{\theta+1}} dx = \theta \int_{1}^{\infty} x^{-\theta} dx = \left. \theta \left( \frac{x^{-\theta+1}}{-\theta+1} \right) \right|_{1}^{\infty} = 0 - \left( \frac{\theta}{1-\theta} \right) = \frac{\theta}{\theta-1}

Momentler yöntemi, teorik kitle momentlerini örneklem momentlerine eşitlemeye dayanır. Bu yüzden ilk adım birinci kitle momentini bulmaktır.

2

Bulunan birinci teorik momenti, birinci örneklem momenti olan örneklem ortalamasına (

\bar{X}

) eşitleyin.

\frac{\theta}{\theta-1} = \bar{X}

Momentler yönteminin temel denklemi

E[X] = \bar{X}

eşitliğini kurmaktır.

3

Elde edilen denklemde bilinmeyen

\theta

parametresini yalnız bırakarak tahmin ediciyi bulun.

\theta = \bar{X}(\theta-1) \implies \theta = \bar{X}\theta - \bar{X} \implies \bar{X} = \bar{X}\theta - \theta \implies \bar{X} = \theta(\bar{X}-1) \implies \hat{\theta} = \frac{\bar{X}}{\bar{X}-1}

Parametreyi yalnız bıraktığımızda momentler yöntemi (MoM) tahmin edicisini elde ederiz.

Key Concept

Momentler yöntemi, kitlenin bilinmeyen parametrelerini tahmin etmek için kitlenin teorik momentleri ile örneklemin hesaplanan momentlerini birbirine eşitleyen bir parametre tahmin yöntemidir.

Question 215Question →

Bir kamu kurumunun bilgi işlem merkezine, sistemsel bir arıza nedeniyle gün içinde gelen şikayet kayıtlarının sayısı $\lambda$ parametreli Poisson dağılımı ile modellenmektedir. $n$ günlük rastgele bir örneklem için gözlemlenen şikayet sayıları $X_1, X_2, \dots, X_n$ bağımsız ve özdeş dağılımlı rastgele değişkenlerdir.

Kurum yönetimi, herhangi bir günde sisteme hiç şikayet gelmeme olasılığının en çok olabilirlik (MLE) tahmin edicisini belirlemek istemektedir.

Buna göre, aranan tahmin edici aşağıdakilerden hangisidir?

e^{-\bar{X}}

\bar{X}

\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n e^{-X_i}

e^{-\sum_{i=1}^n X_i}

e^{-1/\bar{X}}

Show answer & explanation

Answer: $e^{-\bar{X}}$

Answer

Aranan olasılığın en çok olabilirlik (MLE) tahmin edicisi

e^{-\bar{X}}

şeklindedir.

Soruda istenen değer, rassal değişkenin sıfır değerini alma olasılığıdır. Poisson dağılımı için bu olasılık

P(X=0) = e^{-\lambda}

olarak hesaplanır. Öncelikle

\lambda

parametresinin en çok olabilirlik (MLE) tahmin edicisi, log-olabilirlik fonksiyonunun türevi sıfıra eşitlenerek

\hat{\lambda} = \bar{X}

şeklinde bulunur. Daha sonra, MLE'nin değişmezlik (invariance) özelliği gereği, herhangi bir

g(\lambda)

fonksiyonunun en çok olabilirlik tahmin edicisi

g(\hat{\lambda})

olduğundan,

e^{-\lambda}

fonksiyonunda

\lambda

yerine

\bar{X}

yazılarak

e^{-\bar{X}}

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Poisson dağılımına ait olabilirlik ve log-olabilirlik fonksiyonlarını yazmak

L(\lambda) = \prod_{i=1}^n \frac{e^{-\lambda} \lambda^{X_i}}{X_i!} \implies \ln L(\lambda) = -n\lambda + \ln(\lambda) \sum_{i=1}^n X_i - \ln(\prod_{i=1}^n X_i!)

En çok olabilirlik tahmin edicisini (MLE) bulmak için fonksiyonun logaritmasını alarak maksimizasyon işlemini kolaylaştırmak.

2

Log-olabilirlik fonksiyonunun

\lambda

'ya göre türevini alıp sıfıra eşitlemek

\frac{\partial \ln L(\lambda)}{\partial \lambda} = -n + \frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\lambda} = 0 \implies \hat{\lambda} = \frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n} = \bar{X}

Fonksiyonu maksimum yapan

\lambda

değerini (kritik noktayı) bulmak.

3

İstenen olasılık ifadesini

\lambda

cinsinden yazmak

P(X=0) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^0}{0!} = e^{-\lambda}

Soru bizden hiç şikayet gelmeme (

X=0

) olasılığının tahmin edicisini istemektedir.

4

En çok olabilirlik tahmin edicilerinin değişmezlik (invariance) özelliğini uygulamak

g(\lambda) = e^{-\lambda} \implies g(\hat{\lambda}) = e^{-\bar{X}}

Değişmezlik özelliğine göre,

\lambda

'nın MLE'si

\hat{\lambda}

ise,

g(\lambda)

'nın MLE'si

g(\hat{\lambda})

olur.

Key Concept

En Çok Olabilirlik Yöntemi ve Değişmezlik Özelliği

Question 216Question →

Bir ilçe tarım müdürlüğü, belirli bir tarım zararlısının iki görülme vakası arasındaki süreyi (gün cinsinden) izlemektedir. Bu bekleme sürelerinin,

x > 0

olmak üzere olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x; \theta) = \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}

olan üstel dağılıma sahip olduğu varsayılmaktadır.

Müdürlük, bu dağılımın varyansını (yani $\theta^2$ parametresini) tahmin etmek amacıyla $n$ hacimli ( $X_1, X_2, \ldots, X_n$ ) bir rastgele örneklem almıştır.

Buna göre, Lehmann-Scheffe teoremi bağlamında $\theta^2$ parametresi için düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edici (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?
(Not: $\bar{X}$ , örneklem ortalamasıdır.)

\frac{n}{n+1} \bar{X}^2

\bar{X}^2

\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2

\frac{1}{2n} \sum_{i=1}^n X_i^2

\frac{n-1}{n} \bar{X}^2

Show answer & explanation

Answer: $\frac{n}{n+1} \bar{X}^2$

Answer

\theta^2

parametresi için yansız olan ve yeterli istatistik

\bar{X}

'e bağlı olan

\frac{n}{n+1} \bar{X}^2

ifadesidir.

Lehmann-Scheffe teoremine göre, tam ve yeterli istatistiğin yansız bir fonksiyonu benzersiz düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edicidir (UMVUE). Üstel dağılımda

\bar{X}

tam ve yeterli bir istatistiktir. Varyans hesabı gereği

E[\bar{X}^2] = \frac{n+1}{n}\theta^2

'dir. Eşitliğin yansız olabilmesi için ifadenin

\frac{n}{n+1}

ile çarpılması gerekir. Böylece elde edilen

\frac{n}{n+1} \bar{X}^2

tahmin edicisi yansızdır ve yeterli istatistiğe bağlı olduğu için UMVUE'dir.

Step-by-Step Solution

1

Dağılımın temel özelliklerini ve yeterli istatistiği belirlemek.

E[X_i] = \theta

,

Var(X_i) = \theta^2

ve

\bar{X}

(veya

\sum X_i

) tam ve yeterli istatistiktir.

Üstel dağılım üstel aileye aittir ve Neyman Çarpanlara Ayırma teoremine göre toplam yeterlidir.

2

Örneklem ortalamasının özelliklerini kullanarak hedeflenen parametre olan

\theta^2

ile ilişki kurmak.

E[\bar{X}] = \theta

ve

Var(\bar{X}) = \frac{\theta^2}{n}

olarak hesaplanır.

Yeterli istatistiğin bir fonksiyonunu yansız hale getirmemiz gerekmektedir.

3

\bar{X}^2

'nin beklenen değerini hesaplamak.

E[\bar{X}^2] = Var(\bar{X}) + (E[\bar{X}])^2 = \frac{\theta^2}{n} + \theta^2 = \frac{n+1}{n} \theta^2

bulunur.

Lehmann-Scheffe teoremini uygulayabilmek için yeterli istatistiğin karesel formunun beklenen değerine ihtiyaç vardır.

4

Tahmin ediciyi yansızlaştırmak ve Lehmann-Scheffe teoremini uygulamak.

Her iki taraf

\frac{n}{n+1}

ile çarpıldığında

E[\frac{n}{n+1} \bar{X}^2] = \theta^2

elde edilir.

Tam ve yeterli istatistiğin yansız bir fonksiyonu bulunduğu için bu ifade eşsiz UMVUE olur.

Key Concept

Tam ve Yeterli İstatistikler ile Lehmann-Scheffe Teoremi

Question 217Question →

Bir enerji dağıtım şirketi, belirli bir bölgedeki ana trafolarda meydana gelen ardışık iki arıza arasındaki süreyi (saat cinsinden) izlemektedir. Arızalar arası bekleme sürelerinin birbirinden bağımsız ve $X_i \sim \text{Üstel}(\theta)$ dağılımına sahip olduğu varsayılmaktadır. Burada $\theta > 0$ , ortalama arıza bekleme süresini ifade etmektedir.

Kurumun risk analizi birimi, birim zamandaki arıza oranını temsil eden $\lambda = \frac{1}{\theta}$ parametresini tahmin etmek istemektedir. $n$ ( $n > 1$ ) çaplı rastgele bir örneklem temel alındığında, $\lambda$ parametresinin Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edicisi (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?

(Not: Üstel dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu $f(x;\theta) = \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}, x>0$ şeklindedir.)

\frac{n-1}{\sum_{i=1}^n X_i}

\frac{n}{\sum_{i=1}^n X_i}

\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{X_i}

\frac{n+1}{\sum_{i=1}^n X_i}

\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{n-1}{\sum_{i=1}^n X_i}$

Answer

\frac{n-1}{\sum_{i=1}^n X_i}

ifadesi istenilen UMVUE değeridir.

Lehmann-Scheffe teoremine göre, bir parametrenin UMVUE'sini bulmak için tam ve yeterli istatistiğin yansız bir fonksiyonunu elde etmek gerekir.

X_i \sim \text{Üstel}(\theta)

olduğunda,

T = \sum_{i=1}^n X_i

istatistiği

\theta

için tam ve yeterlidir. Toplamın dağılımı

T \sim \text{Gamma}(n, \theta)

'dır. Bizden

\lambda = 1/\theta

tahmin edicisi istenmektedir. Gamma dağılımında

E[1/T] = 1 / ((n-1)\theta)

'dır. Eşitliğin her iki tarafını

(n-1)

ile çarptığımızda

E[(n-1)/T] = 1/\theta = \lambda

elde ederiz. Bu ifade yansızdır ve tam yeterli istatistiğin bir fonksiyonu olduğu için benzersiz UMVUE'dir.

Step-by-Step Solution

1

Tam ve yeterli istatistiğin belirlenmesi

T = \sum_{i=1}^n X_i

istatistiğinin

\theta

için tam ve yeterli olduğu tespit edilir.

Üstel dağılım üstel aileye aittir ve Neyman çarpanlara ayırma teoremine göre toplam istatistiği tam ve yeterlidir.

2

Yeterli istatistiğin örnekleme dağılımının bulunması

T \sim \text{Gamma}(n, \theta)

olduğu belirlenir.

Bağımsız üstel dağılımlı rastgele değişkenlerin toplamı Gamma dağılımı gösterir.

3

İstenen parametre yapısı için beklenen değer (ters moment) hesaplaması

E\left[\frac{1}{T}\right] = \frac{1}{(n-1)\theta}

olarak hesaplanır.

Gamma dağılımının özellikleri kullanılarak

E[T^{-1}]

integrali çözüldüğünde yansızlık için

(n-1)

çarpanının gerektiği görülür.

4

Lehmann-Scheffe teoreminin uygulanması

E\left[\frac{n-1}{T}\right] = \frac{1}{\theta} = \lambda

eşitliğinden hareketle

\frac{n-1}{\sum_{i=1}^n X_i}

sonucuna ulaşılır.

Tam ve yeterli istatistiğin yansız bir fonksiyonu her zaman tek (unique) UMVUE'dir.

Key Concept

Tamlık, Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (En İyi Yansız Tahmin)

Question 218Question →

Bir ülkenin istihdam verilerini inceleyen bir kamu kurumu, belirli bir sektördeki işletmelerin aylık ortalama personel sayısını ( $\mu$ ) tahmin etmek için $n$ çaplı bağımsız ve aynı dağılımlı bir örneklem $(X_1, X_2, \dots, X_n)$ toplamıştır. Kitle varyansının $\sigma^2 < \infty$ olduğu bilinmektedir. Kurum uzmanları $\mu$ parametresi için aşağıdaki iki tahmin ediciyi önermiştir:

\hat{\theta}_1 = \bar{X}

\hat{\theta}_2 = \frac{n\bar{X} + a}{n + b}

(Burada $a$ ve $b$ sıfırdan farklı pozitif sabitlerdir.)

Buna göre, önerilen bu tahmin edicilerin yansızlık ve tutarlılık özellikleri ile ilgili aşağıdaki değerlendirmelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

\hat{\theta}_1

yansız ve tutarlı bir tahmin edici iken,

\hat{\theta}_2

sonlu örneklemlerde yanlı olmasına rağmen tutarlı bir tahmin edicidir.

Bir tahmin edicinin tutarlı olabilmesi için tüm örneklem çaplarında yansız olması zorunlu olduğundan, yalnızca

\hat{\theta}_1

tutarlı bir tahmin edicidir.

\hat{\theta}_2

yanlı bir tahmin edici olduğu için,

n

sonsuza giderken Hata Kareler Ortalaması (MSE) sürekli artar ve tutarsızdır.

Her iki tahmin edici de tutarlıdır; ancak

\hat{\theta}_2

'nin tutarlılığı Hata Kareler Ortalaması (MSE) dikkate alınmaksızın yalnızca varyansının sıfıra gitmesiyle ispatlanabilir.

\hat{\theta}_2

asimptotik olarak yansızdır fakat örneklem çapı büyüdükçe yan miktarı da arttığı için tutarlı bir tahmin edici değildir.

Show answer & explanation

Answer: $\hat{\theta}_1$ yansız ve tutarlı bir tahmin edici iken, $\hat{\theta}_2$ sonlu örneklemlerde yanlı olmasına rağmen tutarlı bir tahmin edicidir.

Answer

Doğru seçenek, birinci tahmin edicinin yansız ve tutarlı, ikinci tahmin edicinin ise yanlı olmasına rağmen tutarlı olduğunu belirten ifadedir.

Verilen senaryoda örneklem ortalaması standart olarak yansız ve tutarlıdır. İkinci tahmin edici olan rasyonel ifade incelendiğinde,

n

sabit bir sayı iken paydadaki

b

sabiti ve paydaki

a

sabiti nedeniyle beklenen değer

\mu

'den farklıdır (yanlıdır). Fakat

n

limit durumunda sonsuza götürüldüğünde ifade

\mu

'ye, varyansı ise sıfıra yakınsar. Bu durum MSE'nin sıfıra yakınsadığını ispatlar, yani tahmin edici asimptotik özellikleri gereği tutarlıdır.

Step-by-Step Solution

1

Birinci tahmin edicinin (

\hat{\theta}_1 = \bar{X}

) yansızlık ve tutarlılık durumunu inceleyin.

E(\bar{X}) = \mu

olduğundan yansızdır.

Var(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}

ve

\lim_{n \to \infty} \frac{\sigma^2}{n} = 0

olduğundan tutarlıdır.

Örneklem ortalaması standart bir tahmin edici olup özellikleri teorem gereği bilinmektedir.

2

İkinci tahmin edicinin (

\hat{\theta}_2

) beklenen değerini ve asimptotik yansızlığını hesaplayın.

E(\hat{\theta}_2) = \frac{n E(\bar{X}) + a}{n + b} = \frac{n\mu + a}{n + b}

. Bu ifade

\mu

'ye eşit olmadığı için tahmin edici yanlıdır. Ancak

\lim_{n \to \infty} \frac{n\mu + a}{n + b} = \mu

olduğu için asimptotik olarak yansızdır.

Bir tahmin edicinin tutarlılığını incelemek için asimptotik beklenen değerine bakılmalıdır.

3

İkinci tahmin edicinin varyansının asimptotik davranışını inceleyin.

Var(\hat{\theta}_2) = Var\left(\frac{n\bar{X} + a}{n + b}\right) = \frac{n^2}{(n+b)^2} Var(\bar{X}) = \frac{n^2}{(n+b)^2} \frac{\sigma^2}{n} = \frac{n\sigma^2}{(n+b)^2}

. Limit alındığında

\lim_{n \to \infty} \frac{n\sigma^2}{(n+b)^2} = 0

bulunur.

Tutarlılık için varyansın örneklem çapı büyüdükçe sıfıra gitmesi gerekir.

4

\hat{\theta}_2

için Hata Kareler Ortalaması (MSE) şartını değerlendirin.

MSE(\hat{\theta}_2) = Var(\hat{\theta}_2) + [Yan(\hat{\theta}_2)]^2

. Hem varyans hem de yan miktarı

n \to \infty

iken sıfıra gittiği için MSE de sıfıra gider. Dolayısıyla

\hat{\theta}_2

tutarlıdır.

MSE'nin sıfıra yakınsaması, olasılıkta yakınsamanın (tutarlılığın) yeterli koşuludur.

Key Concept

Yanlı bir tahmin edicinin asimptotik yansızlık ve varyansının sıfıra gitmesi koşulları altında tutarlı (consistent) bir tahmin edici olabileceği ilkesi.

Estimated Time:1m 30s

Question 219Question →

Bir büyükşehir belediyesi ulaşım planlama birimi, belirli bir bulvar üzerindeki ardışık iki trafik kazası arasındaki süreyi (hafta cinsinden) analiz etmektedir. Bu süre,

\theta

oran (rate) parametreli Üstel dağılıma uymakta olup, olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekildedir:

f(x|\theta) = \theta e^{-\theta x}, \quad x > 0

Planlama uzmanları geçmiş verilere dayanarak, bilinmeyen

\theta

parametresinin önsel (prior) dağılımını aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonu ile modellemiştir:

\pi(\theta) = 4\theta^2 e^{-2\theta}, \quad \theta > 0

Yapılan son gözlemlerde ardışık kazalar arasındaki süreler rastgele seçilen $n=3$ durum için sırasıyla $2$ , $4$ ve $3$ hafta olarak ölçülmüştür.

Buna göre, karesel hata kayıp fonksiyonu (squared error loss) kullanıldığında $\theta$ parametresinin Bayes tahmini aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1}{3}

\frac{5}{11}

\frac{6}{11}

\frac{3}{2}

\frac{11}{6}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{6}{11}$

Answer

Doğru cevap

\frac{6}{11}

'dir. Karesel hata kayıp fonksiyonunda tahmini değer, sonsal dağılımın ortalamasına eşittir.

Bayesyen parametre tahmininde önsel (prior) dağılım ve olabilirlik (likelihood) fonksiyonu çarpılarak sonsal (posterior) dağılım elde edilir. Önsel dağılım

Gamma(3, 2)

ve 3 adet gözlemin toplamı 9 olan olabilirlik fonksiyonu birleştirildiğinde, sonsal dağılım parametreleri

\alpha' = 3 + 3 = 6

ve

\beta' = 2 + 9 = 11

olan

Gamma(6, 11)

dağılımına dönüşür. Soru kökünde 'karesel hata kayıp fonksiyonu' istendiği için, bu dağılımın beklenen değeri (ortalaması) alınır:

E[\theta|\mathbf{x}] = \frac{\alpha'}{\beta'} = \frac{6}{11}

.

Step-by-Step Solution

1

Önsel (prior) dağılımın parametrelerini belirlemek.

Önsel dağılım

\pi(\theta) propto \theta^2 e^{-2\theta}

şeklindedir. Bu durum,

\alpha = 3

ve

\beta = 2

oran parametreli bir Gama dağılımına (

Gamma(3, 2)

) karşılık gelir.

Gama dağılımının yoğunluk fonksiyonu

f(\theta) propto \theta^{\alpha-1} e^{-\beta\theta}

formatındadır. Buradan

\alpha-1=2 \Rightarrow \alpha=3

ve

\beta=2

elde edilir.

2

Örneklem verilerinden olabilirlik (likelihood) fonksiyonunu oluşturmak.

Gözlemler

x_1=2, x_2=4, x_3=3

ve toplam

\sum x_i = 9

olmak üzere;

L(\theta|\mathbf{x}) = \prod_{i=1}^3 \theta e^{-\theta x_i} = \theta^3 e^{-9\theta}

bulunur.

Bağımsız üstel dağılımlı örneklemlerin ortak yoğunluk fonksiyonu, tekil olasılıkların çarpımıdır.

3

Bayes teoremini kullanarak sonsal (posterior) dağılımı türetmek.

Sonsal Dağılım

\propto \text{Önsel} \times \text{Olabilirlik} \Rightarrow (\theta^2 e^{-2\theta}) \times (\theta^3 e^{-9\theta}) = \theta^5 e^{-11\theta}

. Bu da

\alpha' = 6

ve

\beta' = 11

parametreli yeni bir Gama dağılımıdır.

Eşlenik (conjugate) önsel kullanıldığında sonsal dağılım da aynı aileden (Gama ailesinden) olur. Parametreler

\alpha' = \alpha + n

ve

\beta' = \beta + \sum x_i

şeklinde güncellenir.

4

Kayıp fonksiyonuna uygun Bayes tahmin edicisini hesaplamak.

Karesel hata kayıp fonksiyonu için Bayes tahmini, sonsal dağılımın ortalamasıdır:

E[\theta|\mathbf{x}] = \frac{\alpha'}{\beta'} = \frac{6}{11}

.

Karesel hatayı (MSE) minimize eden tahmin edici her zaman sonsal dağılımın beklenen değeridir (ortalamasıdır).

Key Concept

Bayes Tahmini ve Eşlenik Gama-Üstel Dağılımları

Alternative Method

Sonsal dağılım parametrelerini doğrudan formülle ezberlemek yerine her defasında

f(\theta|x) \propto \pi(\theta)L(\theta|x)

bağıntısından eşleştirme yapmak, katsayı hatalarını önler.

Estimated Time:2m 0s

Question 220Question →

Bir metroloji laboratuvarında test edilen yeni nesil bir lazer sensörünün sıfır noktasına göre yaptığı ölçüm hatalarının, ortalaması $0$ ve varyansı $\sigma^2$ olan normal dağılıma uyduğu varsayılmaktadır. Bu sensör ile yapılan $n$ adet bağımsız ve özdeş dağılımlı (i.i.d.) ölçüme ait hata değerleri $X_1, X_2, \dots, X_n$ ( $X_i \in \mathbb{R}$ ) olarak kaydedilmiştir.

Dağılımın parametresi $\sigma > 0$ olduğuna göre, ölçüm hatalarının standart sapmasının ( $\sigma$ ) en çok olabilirlik tahmin edicisi (MLE) aşağıdakilerden hangisidir?

\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2}

\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2

\sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n X_i^2}

\sqrt{\frac{2}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2}

\sqrt{\frac{1}{2n} \sum_{i=1}^n X_i^2}

Show answer & explanation

Answer: $\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2}$

Answer

Standart sapmanın en çok olabilirlik tahmin edicisi

\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2}

formülü ile elde edilir.

Verilen sıfır ortalamalı normal dağılım için log-olabilirlik fonksiyonu oluşturulup varyansa (

\sigma^2

) göre türev alındığında, varyansın MLE'si

\frac{1}{n} \sum X_i^2

olarak bulunur. Soruda standart sapma (

\sigma

) istendiği için, MLE'nin değişmezlik (invariance) kuralı uygulanarak bu varyans değerinin karekökü alınır ve doğru sonuca ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Kitle dağılımının olabilirlik (likelihood) ve log-olabilirlik fonksiyonlarını yazın.

L(\sigma^2) = (2\pi\sigma^2)^{-n/2} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}\sum X_i^2}

\ln L(\sigma^2) = -\frac{n}{2}\ln(2\pi) - \frac{n}{2}\ln(\sigma^2) - \frac{1}{2\sigma^2}\sum X_i^2

En çok olabilirlik tahmin edicisini bulmak için öncelikle fonksiyonun logaritması alınarak çarpım durumu toplama dönüştürülür ve türev alma işlemi kolaylaştırılır.

2

Log-olabilirlik fonksiyonunun

\sigma^2

'ye göre birinci türevini alın ve sıfıra eşitleyin.

\frac{d}{d(\sigma^2)} \ln L(\sigma^2) = -\frac{n}{2\sigma^2} + \frac{1}{2(\sigma^2)^2}\sum X_i^2 = 0

Fonksiyonun maksimum noktasını bulmak için birinci türev sıfıra eşitlenmelidir.

3

Denklemi çözerek varyansın (

\sigma^2

) en çok olabilirlik tahmin edicisini bulun.

\frac{n}{2\sigma^2} = \frac{1}{2\sigma^4}\sum X_i^2 \implies \widehat{\sigma^2}_{MLE} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2

Bu adımda varyans parametresinin tahmin edicisi elde edilmiş olur.

4

En çok olabilirlik tahmin edicilerinin değişmezlik (invariance) özelliğini kullanarak standart sapmanın (

\sigma

) tahmin edicisini bulun.

\hat{\sigma}_{MLE} = \sqrt{\widehat{\sigma^2}_{MLE}} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2}

Değişmezlik özelliği gereği, bir parametrenin fonksiyonunun MLE'si, o parametrenin MLE'sinin aynı fonksiyona sokulmasıyla elde edilir.

Key Concept

En Çok Olabilirlik Yöntemi ve Değişmezlik (Invariance) Özelliği

Parametre Tahmin Yöntemleri

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method