Tahmin Edicilerin Varyansı

Sistematik örnekleme yöntemi kullanılarak bir kitleden örneklem seçildiğinde, tahmin edicilerin varyansı kitle birimlerinin dizilişinden ve birimler arasındaki benzerlikten doğrudan etkilenmektedir. Bu benzerlik kitle içi korelasyon katsayısı ($\rho$) ile ölçülmektedir. $N$ birimlik bir kitleden $n$ birimlik bir örneklem çekilmesi durumunda, sistematik örneklemenin kitle ortalaması tahmin edicisinin varyansının ($V(\bar{y}_{sys})$), iadesiz basit rastgele örnekleme varyansından ($V(\bar{y}_{srs})$) daha küçük (daha etkin) olması için $\rho$ değerinin sağlaması gereken koşul aşağıdakilerden hangisidir?

Bir kitlede $N = 1001$ birim bulunmakta ve bu kitleden $n = 100$ birimlik bir örneklem sistematik örnekleme yöntemiyle seçilmektedir. Sistematik örnekleme yoluyla elde edilen kitle ortalaması tahmininin, iadesiz basit rastgele örneklemeye göre daha etkin (daha düşük varyanslı) olması istenmektedir. Kitle içi korelasyon katsayısı $\rho$ ile temsil edildiğine göre, sistematik örneklemenin daha etkin olması için gereken temel koşul aşağıdakilerden hangisidir?

Birimlerin çerçevedeki dizilişinin belirli bir doğrusal eğilim (trend) gösterdiği kitlelerde, sistematik örnekleme yöntemi ile elde edilen tahmin edicinin varyansı ($V_{sys}$); iadesiz basit rastgele örnekleme varyansı ($V_{srs}$) ve her bir tabakadan bir birim seçilen ($n_h = 1$) tabakalı rastgele örnekleme varyansı ($V_{st}$) ile karşılaştırılmaktadır. Buna göre, bu üç yöntemin varyansları arasındaki ilişki aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

Bir araştırmacı, sistematik örnekleme yöntemiyle yaptığı bir çalışmada kitle ortalaması tahmin edicisinin varyansının ($V(\bar{y}_{sys})$), aynı hacimli iadesiz basit rastgele örnekleme varyansından ($V(\bar{y}_{srs})$) anlamlı derecede daha yüksek olduğunu tespit etmiştir.

Kitle içi korelasyon katsayısı $\rho$ ile gösterilmek üzere, bu düşük hassasiyetin (yüksek varyansın) temel nedeni aşağıdakilerden hangisidir?

Sistematik örnekleme yönteminde kitle ortalaması tahmin edicisinin varyansı ($V(\bar{y}_{sys})$) ile iadesiz basit rastgele örnekleme varyansı ($V(\bar{y}_{srs})$) arasındaki ilişki kitle içi korelasyon katsayısı ($\rho$) kullanılarak aşağıdaki formül ile ifade edilmektedir:

Buna göre, kitle birimlerinin çerçeve üzerinde periyodik (döngüsel) bir diziliş gösterdiği ve örnekleme aralığının ($k$) bu periyot uzunluğunun tam bir katı olduğu bir durumda, $\rho$ katsayısının değeri ve sistematik örneklemenin etkinliği hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Sistematik örnekleme yönteminde, kitle ortalaması tahmin edicisinin varyansı ($V(\bar{y}_{sys})$) ile iadesiz basit rastgele örnekleme varyansı ($V(\bar{y}_{srs})$) arasındaki ilişki yaklaşık olarak aşağıdaki formül ile ifade edilmektedir:

Burada $\rho$, sistematik örneklem birimleri arasındaki kitle içi korelasyon katsayısını temsil etmektedir. Bir araştırmada örneklem hacmi $n = 51$ olarak belirlenmiş ve kitle içi korelasyon katsayısı $\rho = 0,02$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, sistematik örneklemenin iadesiz basit rastgele örneklemeye göre etkinliğini gösteren tasarım etkisi (design effect) değeri kaçtır?

Örnekleme teorisinde, birimlerin çerçeve üzerindeki diziliş biçimi sistematik örnekleme yönteminin hassasiyetini doğrudan etkilemektedir. Bir araştırmada kitle birimlerinin dizilişinden kaynaklı olarak küme içi korelasyon katsayısının pozitif ($\rho > 0$) olduğu saptanmıştır. Bu durumda, kitle ortalaması tahmin edicisinin varyansı ($V(\bar{y}_{sys})$) ile iadesiz basit rastgele örnekleme varyansı ($V(\bar{y}_{srs})$) arasındaki ilişki ve sistematik örneklemenin etkinliği hakkında aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?

Sistematik örnekleme yönteminde kitle ortalaması tahmin edicisinin varyansının ($V(\bar{y}_{sys})$), iadesiz basit rastgele örnekleme varyansından ($V(\bar{y}_{srs})$) daha küçük olması (yani sistematik örneklemenin daha etkin bir tahmin sunması) için kitle içi korelasyon katsayısı ($\rho$) aşağıdaki koşullardan hangisini sağlamalıdır?

Sistematik örnekleme yönteminde, kitle ortalaması tahmin edicisinin varyansı ($V(\bar{y}_{sys})$) ile iadesiz basit rastgele örnekleme varyansı ($V(\bar{y}_{srs})$) arasındaki ilişki kitle içi korelasyon katsayısı ($\rho$) kullanılarak ifade edilmektedir. Kitledeki birimlerin dizilişine bağlı olarak kitle içi korelasyon katsayısının pozitif ($\rho > 0$) olduğu bir durumda, sistematik örnekleme yönteminin basit rastgele örneklemeye göre etkinliği hakkında aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?

Sistematik örnekleme yönteminde, kitle ortalaması tahmin edicisinin varyansı ($V(\bar{y}_{sys})$) ile iadesiz basit rastgele örnekleme varyansı ($V(\bar{y}_{srs})$) arasındaki ilişki kitle içi korelasyon katsayısı ($\rho$) üzerinden $V(\bar{y}_{sys}) \approx V(\bar{y}_{srs}) [1 + (n-1)\rho]$ şeklinde ifade edilebilir. Bir araştırmada $n = 41$ birimlik bir örneklem seçilmiş ve kitle içi korelasyon katsayısı $\rho = -0,01$ olarak belirlenmiştir. Buna göre, bu sistematik örnekleme tasarımının etkinliği ve tasarım etkisi ($Deff$) değeri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Büyüklüğü $N=40$ olan bir kitle üzerinden sistematik örnekleme yöntemiyle $n=10$ hacimli bir örneklem seçilecektir. Araştırmacı çerçeveyi incelediğinde, oluşturulabilecek olası tüm sistematik örneklemlerin (toplam $k$ adet) kitle ortalamasını tahmin etmek için vereceği örneklem ortalamalarını sırasıyla $6$, $10$, $14$ ve $10$ olarak hesaplamıştır.

Buna göre, sistematik örneklemede kitle ortalaması tahmin edicisinin varyansı ($V(\bar{y}_{sys})$) aşağıdakilerden hangisidir?

Bir araştırmacı, büyüklüğü $N=100$ olan bir kitle üzerinden $n=20$ hacimli bir örneklemi sistematik örnekleme yöntemiyle seçecektir.

Eğer bu örneklem iadesiz basit rastgele örnekleme (BRO) yöntemiyle seçilseydi, kitle ortalaması tahmin edicisinin varyansı $V(\bar{y}_{srs}) = 80$ olarak hesaplanacaktı.

Aynı kitle için, sistematik örneklemeye düşen birimler arasındaki sınıf içi korelasyon katsayısı $\rho = -0,05$ olduğuna göre, sistematik örnekleme ortalamasının varyansı ($V(\bar{y}_{sys})$) aşağıdakilerden hangisidir?

(Not: Kitle varyansı $S^2 = \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N (Y_i - \bar{Y})^2$ olarak tanımlanmıştır.)

Bir büyükşehir belediyesinde, meskenlerin aylık su tüketim miktarlarını incelemek amacıyla $N=130$ binadan oluşan bir mahallede, çerçeve üzerinden sistematik örnekleme yöntemiyle $n=26$ hacimli bir örneklem seçilecektir. Binaların çerçeve üzerindeki sıralanışından kaynaklanan kitle içi korelasyon katsayısı $\rho = -0,02$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, kitle ortalaması tahmin edicisi için sistematik örnekleme varyansının, iadeli basit rastgele örnekleme varyansına oranını ifade eden tasarım etkisi ($deff$) kaçtır ve bu iki yöntemin etkinliği nasıl karşılaştırılmalıdır?