Examkin

Question

Difficulty: HardTürevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x3−2x2+3f(x) = x^3 - 2x^2 + 3
eğrisinin A(a,f(a))A(a, f(a)) noktasındaki teğet doğrusu, bu eğriyi başka bir B(b,f(b))B(b, f(b)) noktasında dik kesmektedir.

Buna göre, bu teğet doğrusunun eğimi kaçtır?

Answer: -0.5

Answer

Teğet doğrusunun eğimi -0.5'tir.
Teğet doğrusu ile eğrinin kesim noktalarının apsisleri kökler toplamı ilişkisinden b=2−2ab = 2-2a olarak bulunur. AA noktasındaki teğet eğimi m=3a2−4am = 3a^2 - 4a iken, BB noktasındaki türev f′(b)=4(m+1)f'(b) = 4(m+1) olur. Doğrunun BB noktasında eğriyi dik kesmesi m⋅f′(b)=−1m \cdot f'(b) = -1 şartını gerektirir. Bu denklemin çözümü (2m+1)2=0(2m+1)^2 = 0 olup, teğet doğrusunun eğimi -0.5 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Teğet doğrusu ile eğrinin kesim noktalarının apsisleri arasındaki ilişkiyi belirlemek.
b=2−2ab = 2 - 2a
Teğet doğrusunun denklemi ile eğrinin denkleminin ortak çözümünden elde edilen kübik denklemin kökleri aa (çift katlı) ve bb olup, kökler toplamı formülünden 2a+b=22a + b = 2 olur.
2
AA noktasındaki teğet eğimini aa parametresine bağlı olarak yazmak.
m=3a2−4am = 3a^2 - 4a
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir.
3
BB noktasındaki türev değerini mm cinsinden ifade etmek.
f′(b)=4(m+1)f'(b) = 4(m + 1)
b=2−2ab = 2 - 2a değeri f′(x)=3x2−4xf'(x) = 3x^2 - 4x fonksiyonunda yerine yazılarak sadeleştirme yapılır.
4
Teğet ve normal doğrularının eğimleri çarpımının −1-1 olmasından yararlanarak mm değerini bulmak.
m=−0.5m = -0.5
f′(a)⋅f′(b)=−1⇒m⋅4(m+1)=−1f'(a) \cdot f'(b) = -1 \Rightarrow m \cdot 4(m+1) = -1 denklemi çözüldüğünde elde edilen (2m+1)2=0(2m+1)^2 = 0 tam kare ifadesinden tek bir reel mm değeri elde edilir.

Key Concept

Türevin geometrik yorumu, teğet ve normal doğrularının eğimleri arasındaki ilişki ve eğrilerin kesişim noktalarının analizi.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

More questions from this topic