Dik koordinat düzleminde, y = x^2 parabolü üzerindeki bir P(a, a^2) noktasından çizilen te… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Dik koordinat düzleminde, $y = x^2$ parabolü üzerindeki bir $P(a, a^2)$ noktasından çizilen teğet doğrusunun $y$ -eksenini kestiği nokta $T$ , normal doğrusunun $y$ -eksenini kestiği nokta ise $N$ olarak adlandırılıyor.

$P$ noktası koordinat düzleminin birinci bölgesinde yer almaktadır.

$T$ ve $N$ noktaları arasındaki uzaklık $\frac{17}{2}$ birim olduğuna göre, $a$ değeri kaçtır?

Answer: 2

Answer

Parabol üzerindeki birinci bölgede bulunan noktanın apsisi 2'dir.

Doğru cevap 2'dir.

y = x^2

parabolünün türevi

y' = 2x

olduğundan teğet eğimi

2a

, normal eğimi ise

-\frac{1}{2a}

olur. Bu doğruların denkleminden

y

-kesenleri sırasıyla

T(0, -a^2)

N(0, a^2 + \frac{1}{2})

bulunur. İki nokta arasındaki uzaklık

2a^2 + \frac{1}{2} = \frac{17}{2} \implies 2a^2 = 8 \implies a^2 = 4

elde edilir. Birinci bölgede

a > 0

olduğu için

a = 2

olur.

Step-by-Step Solution

Parabolün türevini alarak teğet doğrusunun eğimini belirleyiniz.

y' = 2x \implies m_t = 2a

Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.

Teğet doğrusunun denklemini yazıp

y

-eksenini kestiği

T

noktasının koordinatlarını bulunuz.

y - a^2 = 2a(x - a) \implies y = 2ax - a^2 \implies T(0, -a^2)

Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi formülü kullanılarak teğet denklemi elde edilir. Doğrunun

y

-eksenini kestiği noktayı bulmak için

x = 0

yazılır.

Normal doğrusunun eğimini ve denklemini bulup

y

-eksenini kestiği

N

noktasının koordinatlarını hesaplayınız.

m_n = -\frac{1}{2a} \implies y - a^2 = -\frac{1}{2a}(x - a) \implies N\left(0, a^2 + \frac{1}{2}\right)

Teğet ve normal doğruları birbirine dik olduğundan eğimleri çarpımı

-1

'dir. Buradan normal doğrusunun eğimi bulunarak denklem yazılır ve

x = 0

için

y

-keseni belirlenir.

T

N

noktaları arasındaki uzaklığı veren denklemi kurarak

a

değerini bulunuz.

|y_N - y_T| = 2a^2 + \frac{1}{2} = \frac{17}{2} \implies 2a^2 = 8 \implies a^2 = 4 \implies a = 2

y

-ekseni üzerindeki iki nokta arasındaki uzaklık, ordinatlarının farkının mutlak değeridir.

P

noktası birinci bölgede yer aldığından

a > 0

olmalıdır, bu yüzden pozitif kök seçilir.

Key Concept

Türevin geometrik yorumu yardımıyla teğet ve normal doğrularının denklemlerinin yazılması ve bu doğruların eksenleri kestiği noktaların bulunması.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic