Examkin

Question

Difficulty: HardAritmetik Dizide İlk n Terim Toplamı

Bir aritmetik dizinin ilk 1010 teriminin toplamı 2525, ilk 2525 teriminin toplamı ise 1010 değerine eşittir.

Buna göre, bu aritmetik dizinin ilk 3535 teriminin toplamı kaçtır?

Answer: -35

Answer

Bu aritmetik dizinin ilk 35 teriminin toplamı -35'tir.
Verilen ilk 10 terim toplamı ve ilk 25 terim toplamı denklemlerinden elde edilen ilk terim ve ortak fark değerleri aritmetik dizi toplam formülünde yerine konulduğunda ilk 35 terim toplamı -35 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Aritmetik dizinin ilk nn terim toplamı formülünü yazıp verilen değerleri yerine koyalım.
Sn=n2[2a1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d] formülünden; S10=5(2a1+9d)=25  ⟹  2a1+9d=5S_{10} = 5(2a_1 + 9d) = 25 \implies 2a_1 + 9d = 5 ve S25=252(2a1+24d)=10  ⟹  2a1+24d=45S_{25} = \frac{25}{2}(2a_1 + 24d) = 10 \implies 2a_1 + 24d = \frac{4}{5} elde edilir.
Dizinin ilk terimi (a1a_1) ve ortak farkı (dd) arasındaki ilişkileri veren iki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşturmak için.
2
Elde edilen denklem sistemini çözerek dizinin ortak farkını (dd) ve ilk teriminin iki katını (2a12a_1) bulalım.
(2a1+24d)−(2a1+9d)=45−5  ⟹  15d=−215  ⟹  d=−725(2a_1 + 24d) - (2a_1 + 9d) = \frac{4}{5} - 5 \implies 15d = -\frac{21}{5} \implies d = -\frac{7}{25} olur. Buradan 2a1=5−9(−725)=188252a_1 = 5 - 9\left(-\frac{7}{25}\right) = \frac{188}{25} bulunur.
İlk 35 terimin toplamını hesaplamak için gerekli olan 2a12a_1 ve dd değerlerini belirlemek amacıyla.
3
İlk 35 terimin toplamını (S35S_{35}) hesaplayalım.
S35=352[2a1+34d]=352[18825+34(−725)]=352[188−23825]=352[−5025]=−35S_{35} = \frac{35}{2} [2a_1 + 34d] = \frac{35}{2} \left[\frac{188}{25} + 34\left(-\frac{7}{25}\right)\right] = \frac{35}{2} \left[\frac{188 - 238}{25}\right] = \frac{35}{2} \left[\frac{-50}{25}\right] = -35 bulunur.
İstenen toplam değerini doğrudan formül yardımıyla elde etmek için.

Key Concept

Aritmetik Dizide İlk n Terim Toplamı

Alternative Method

Bir aritmetik dizide ilk mm terim toplamı Sm=kS_m = k ve ilk kk terim toplamı Sk=mS_k = m (m≠km \neq k) ise ilk m+km+k terim toplamı Sm+k=−(m+k)S_{m+k} = -(m+k) olur. Soruda m=10m = 10 ve k=25k = 25 alındığında S35=−(10+25)=−35S_{35} = -(10 + 25) = -35 doğrudan bulunur.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Aritmetik Dizide İlk n Terim Toplamı

More questions from this topic