Examkin

Aritmetik Dizide İlk n Terim Toplamı

20 questions

All types20Multiple choice11Numeric9
Question 1Question →

İlk terimi a1=4a_1 = 4 olan bir aritmetik dizinin ilk 88 teriminin toplamı S8=88S_8 = 88 olduğuna göre, bu dizinin ortak farkı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Ortak fark 2'dir.
Dizinin ilk 8 terim toplamı formülü olan S8=4(2a1+7d)S_8 = 4(2a_1 + 7d) ifadesinde verilenler yerine yazılıp 88=4(8+7d)88 = 4(8 + 7d) denklemi kurulur. Bu denklem çözüldüğünde ortak fark 2 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Aritmetik dizinin ilk nn teriminin toplamını veren genel formülü yazmak.
Sn=n2⋅[2a1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2} \cdot [2a_1 + (n - 1)d]
İlk nn terim toplamı hesaplanırken kullanılacak temel bağıntıyı kurmak.
2
Soruda verilen değerleri formüle uygulamak.
88=82⋅[2⋅4+(8−1)d]88 = \frac{8}{2} \cdot [2 \cdot 4 + (8 - 1)d]
S8=88S_8 = 88, n=8n = 8 ve a1=4a_1 = 4 değerlerini formülde yerlerine yerleştirmek.
3
Elde edilen denklemi çözerek ortak fark dd değerini bulmak.
d=2d = 2
88=4⋅[8+7d]⇒22=8+7d⇒14=7d⇒d=288 = 4 \cdot [8 + 7d] \Rightarrow 22 = 8 + 7d \Rightarrow 14 = 7d \Rightarrow d = 2 işlemlerini uygulamak.

Key Concept

Aritmetik dizide ilk n terimin toplam formülünün uygulanması
Question 2Question →

İlk terimi 55 ve ortak farkı 33 olan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

Sn=258S_n = 258

olduğuna göre, bu dizinin nn. terimi (ana_n) kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 38

Answer

Dizinin n. terimi olan 38'dir.
Verilen toplam ve ilk terim değerleri aritmetik dizinin ilk nn terim toplam formülünde yerine konulduğunda 3n2+7n−516=03n^2 + 7n - 516 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin pozitif tam sayı kökü n=12n = 12 olarak bulunur. Dizinin genel terim formülünden 1212. terim hesaplandığında a12=5+11⋅3=38a_{12} = 5 + 11 \cdot 3 = 38 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Aritmetik dizinin ilk nn terim toplamı formülü Sn=n2[2a1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d] ifadesinde verilen Sn=258S_n = 258, a1=5a_1 = 5 ve d=3d = 3 değerlerini yerine yazmak.
258=n2[2⋅5+(n−1)⋅3]⇒516=n(3n+7)⇒3n2+7n−516=0258 = \frac{n}{2} [2 \cdot 5 + (n-1) \cdot 3] \Rightarrow 516 = n(3n + 7) \Rightarrow 3n^2 + 7n - 516 = 0 denklemi elde edilir.
Terim sayısını (nn) bulabilmek için ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem oluşturulması gerekir.
2
Elde edilen 3n2+7n−516=03n^2 + 7n - 516 = 0 denklemini çarpanlarına ayırarak çözmek.
(3n+43)(n−12)=0(3n + 43)(n - 12) = 0 ifadesinden n=12n = 12 veya n=−433n = -\frac{43}{3} bulunur. Terim sayısı pozitif tam sayı olmak zorunda olduğundan n=12n = 12 olarak alınır.
Dizilerde terim indisi ve terim sayısı daima pozitif tam sayı olmalıdır.
3
Dizinin genel terim formülü olan an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d ifadesinde n=12n = 12 yazarak a12a_{12} değerini hesaplamak.
a12=5+(12−1)⋅3=5+33=38a_{12} = 5 + (12-1) \cdot 3 = 5 + 33 = 38 bulunur.
Bulunan terim sayısı yardımıyla dizinin ilgili terimini elde etmek amaçlanır.

Key Concept

Aritmetik dizilerde ilk n terim toplamı Sn=n2(2a1+(n−1)d)S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) ve genel terim an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d formülleriyle hesaplanır.
Question 3Question →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

Bu dizide,
S6=3⋅S3S_6 = 3 · S_3
a5=12a_5 = 12

olduğuna göre, bu dizinin ilk terimi (a1a_1) kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Dizinin ilk terimi 4'tür.
Dizinin ilk n terim toplamı formülü kullanılarak S3S_3 ve S6S_6 terimleri a1a_1 ve dd cinsinden yazıldığında, S6=3⋅S3S_6 = 3 \cdot S_3 eşitliğinden a1=2da_1 = 2d bağıntısına ulaşılır. a5=a1+4d=12a_5 = a_1 + 4d = 12 eşitliğinde bu bağıntı yerine yazıldığında d=2d = 2 ve dolayısıyla a1=4a_1 = 4 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
İlk n terim toplamı formülü yardımıyla S3S_3 ve S6S_6 terimlerini a1a_1 (ilk terim) ve dd (ortak fark) cinsinden ifade etme.
S3=3a1+3dS_3 = 3a_1 + 3d ve S6=6a1+15dS_6 = 6a_1 + 15d elde edilir.
Dizinin toplam formülünü kullanarak verilen toplamlar arasındaki ilişkiyi kurmak.
2
S6=3⋅S3S_6 = 3 \cdot S_3 eşitliğini kullanarak a1a_1 ile dd arasındaki bağıntıyı bulma.
6a1+15d=3(3a1+3d)  ⟹  6a1+15d=9a1+9d  ⟹  6d=3a1  ⟹  a1=2d6a_1 + 15d = 3(3a_1 + 3d) \implies 6a_1 + 15d = 9a_1 + 9d \implies 6d = 3a_1 \implies a_1 = 2d elde edilir.
Toplamlar arasındaki orandan ilk terim ile ortak fark arasındaki doğrusal ilişkiyi belirlemek.
3
Genel terim formülüyle a5=12a_5 = 12 eşitliğini yazıp elde edilen a1=2da_1 = 2d bağıntısını yerine koyarak dd ve ardından a1a_1 değerlerini hesaplama.
a5=a1+4d  ⟹  12=2d+4d  ⟹  6d=12  ⟹  d=2a_5 = a_1 + 4d \implies 12 = 2d + 4d \implies 6d = 12 \implies d = 2 bulunur. Buradan a1=2d=2(2)=4a_1 = 2d = 2(2) = 4 elde edilir.
Bilinen bir terim yardımıyla bilinmeyen parametreleri çözüp sonuca ulaşmak.

Key Concept

Aritmetik dizide ilk n terim toplamı formülünün uygulanması ve terimler arasındaki ilişkilerin çözülmesi.
Estimated Time:1m 30s
Question 4Question →

Bir aritmetik dizinin ilk nn teriminin toplamı Sn=2n2+nS_n = 2n^2 + n formülü ile veriliyor. Buna göre, bu dizinin 5.5. terimi kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 19

Answer

Dizinin 5. terimi 19'dur.
Aritmetik dizilerde ilk n terim toplamı S_n verildiğinde, n. terim a_n = S_n - S_{n-1} formülüyle hesaplanır. Bu bağıntıdan yararlanılarak S_5 ve S_4 değerleri hesaplanmış ve farkları alınarak 5. terim 19 olarak bulunmuştur.

Step-by-Step Solution

1
Aritmetik dizilerde n. terim ile ilk n terim toplamı arasındaki a_n = S_n - S_{n-1} bağıntısını kullanarak a_5'i S_5 ve S_4 cinsinden ifade etmek.
a_5 = S_5 - S_4
Dizinin ilk 5 teriminin toplamından ilk 4 teriminin toplamı çıkarıldığında sadece 5. terim kalır.
2
S_n = 2n^2 + n formülünde n yerine 5 yazarak S_5 değerini hesaplamak.
S_5 = 2(5)^2 + 5 = 55
İlk 5 terimin toplamını elde etmek için.
3
S_n = 2n^2 + n formülünde n yerine 4 yazarak S_4 değerini hesaplamak.
S_4 = 2(4)^2 + 4 = 36
İlk 4 terimin toplamını elde etmek için.
4
Hesaplanan S_5 ve S_4 değerlerini a_5 = S_5 - S_4 eşitliğinde yerine yazmak.
a_5 = 55 - 36 = 19
5. terimin sayısal değerini bulmak için.

Key Concept

Bir aritmetik dizide ilk n terimin toplamı S_n ile n. terim a_n arasındaki ilişki: a_n = S_n - S_{n-1}
Question 5Question →

Terimleri birer gerçel sayı olan bir aritmetik dizinin ilk terimi a1=5a_1 = 5 ve onuncu terimi a10=41a_{10} = 41 olarak veriliyor. Buna göre, bu dizinin ilk 10 teriminin toplamı (S10S_{10}) kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 230

Answer

Dizinin ilk 10 teriminin toplamı 230'dur.
Verilen aritmetik dizinin ilk terimi a1=5a_1 = 5 ve onuncu terimi a10=41a_{10} = 41 olduğuna göre, ilk 10 terim toplamı S10=102(a1+a10)=5×(5+41)=230S_{10} = \frac{10}{2}(a_1 + a_{10}) = 5 \times (5 + 41) = 230 olarak bulunur. Bu nedenle 230 değeri doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Aritmetik dizinin ilk nn terim toplamı (SnS_n) formülünü belirleme
Sn=n2(a1+an)S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)
İlk ve son terimi bilinen bir aritmetik dizinin ilk nn teriminin toplamını hesaplamak için bu formül kullanılır.
2
Verilen değerleri formülde yerine yazarak S10S_{10} değerini hesaplama
S10=102(a1+a10)=5(5+41)=5×46=230S_{10} = \frac{10}{2}(a_1 + a_{10}) = 5(5 + 41) = 5 \times 46 = 230
n=10n=10, a1=5a_1=5 ve a10=41a_{10}=41 değerleri formüle yerleştirilerek sonuca ulaşılır.

Key Concept

Aritmetik dizide ilk nn terim toplamı formülü
Estimated Time:1m 0s
Question 6Question →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n olmak üzere,

S15−S10=235S_{15} - S_{10} = 235
a8=27a_8 = 27

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, bu dizinin ilk 10 teriminin toplamı (S10S_{10}) kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 170

Answer

170
Aritmetik dizinin ilk nn terim toplamı formülü kullanılarak S15−S10=5a1+60d=235S_{15} - S_{10} = 5a_1 + 60d = 235 denklemi ve dizinin 8. terimi olan a8=a1+7d=27a_8 = a_1 + 7d = 27 denklemi ortak çözüldüğünde dizinin ortak farkı d=4d = 4 ve ilk terimi a1=−1a_1 = -1 olarak bulunur. Bu değerler ilk 10 terim toplamı formülünde yerine yazıldığında doğru sonuç 170 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
İlk nn terim toplamı formülü olan Sn=n2(2a1+(n−1)d)S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) ifadesini kullanarak S15S_{15} ve S10S_{10} toplamlarını a1a_1 ve ortak fark dd cinsinden yazalım.
S15=15a1+105dS_{15} = 15a_1 + 105d ve S10=10a1+45dS_{10} = 10a_1 + 45d elde edilir.
S15−S10S_{15} - S_{10} farkını elde etmek ve bu farkı verilen sayısal değere eşitlemek amacıyla bu dönüşüm yapılır.
2
S15−S10S_{15} - S_{10} ifadesini hesaplayalım ve verilen a8a_8 terimini a1a_1 ve dd cinsinden yazarak iki bilinmeyenli bir denklem sistemi kuralım.
S15−S10=5a1+60d=235  ⟹  a1+12d=47S_{15} - S_{10} = 5a_1 + 60d = 235 \implies a_1 + 12d = 47 ve a8=a1+7d=27a_8 = a_1 + 7d = 27 denklemleri elde edilir.
Dizinin birinci terimi (a1a_1) ve ortak farkını (dd) bulmak için iki bağımsız denklem elde etmemiz gerekir.
3
Elde edilen a1+12d=47a_1 + 12d = 47 ve a1+7d=27a_1 + 7d = 27 denklemlerini taraf tarafa çıkararak dd ve a1a_1 değerlerini hesaplayalım.
5d=20  ⟹  d=45d = 20 \implies d = 4 ve a1=−1a_1 = -1 bulunur.
Ortak fark ve ilk terim bilindiğinde dizinin herhangi bir terimi veya terimler toplamı hesaplanabilir.
4
Hesaplanan a1=−1a_1 = -1 ve d=4d = 4 değerlerini kullanarak ilk 10 terim toplamı olan S10S_{10} değerini hesaplayalım.
S10=102(2a1+9d)=5(2(−1)+9(4))=5(−2+36)=170S_{10} = \frac{10}{2}(2a_1 + 9d) = 5(2(-1) + 9(4)) = 5(-2 + 36) = 170 olarak bulunur.
Soruda bizden istenen ilk 10 terim toplamına ulaşmak için SnS_n formülünde n=10n=10 yazılarak sonuca gidilir.

Key Concept

Aritmetik dizide ilk nn terimin toplamı Sn=n2(2a1+(n−1)d)S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) formülü ile hesaplanır ve ardışık terimler toplamı arasındaki fark Sn−Sn−1=anS_n - S_{n-1} = a_n ilişkisiyle ifade edilir.
Question 7Question →

Ortak farkı sıfırdan farklı olan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

S27=3S18S_{27} = 3S_{18}

olduğuna göre, bu dizinin kaçıncı terimi sıfıra eşittir?

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

Dizinin 5. terimi sıfıra eşittir.
Verilen toplam eşitliği S27=3S18S_{27} = 3S_{18} formülize edilip sadeleştirildiğinde a1=−4da_1 = -4d bağıntısına ulaşılır. Aritmetik dizinin genel terim formülü am=a1+(m−1)da_m = a_1 + (m-1)d olduğundan, a5=a1+4d=−4d+4d=0a_5 = a_1 + 4d = -4d + 4d = 0 bulunur. Dolayısıyla dizinin 5. terimi kesinlikle sıfırdır.

Step-by-Step Solution

1
Aritmetik dizinin ilk nn teriminin toplam formülünü yazalım.
Sn=n2[2a1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d]
Verilen S27S_{27} ve S18S_{18} ifadelerini bu formül cinsinden ifade etmek için.
2
S27S_{27} ve S18S_{18} terimlerini formülde yerine koyalım.
S27=272[2a1+26d]=27(a1+13d)S_{27} = \frac{27}{2} [2a_1 + 26d] = 27(a_1 + 13d) ve S18=182[2a1+17d]=9(2a1+17d)S_{18} = \frac{18}{2} [2a_1 + 17d] = 9(2a_1 + 17d)
Denklemi kurabilmek ve ifadeleri sadeleştirmek amacıyla.
3
Verilen S27=3S18S_{27} = 3S_{18} eşitliğini kullanalım ve denklemi çözelim.
27(a1+13d)=3⋅9(2a1+17d)  ⟹  27(a1+13d)=27(2a1+17d)  ⟹  a1+13d=2a1+17d  ⟹  a1=−4d27(a_1 + 13d) = 3 \cdot 9(2a_1 + 17d) \implies 27(a_1 + 13d) = 27(2a_1 + 17d) \implies a_1 + 13d = 2a_1 + 17d \implies a_1 = -4d
Dizinin ilk terimi ile ortak farkı arasındaki ilişkiyi bulmak için.
4
Dizinin sıfıra eşit olan mm. terimini bulalım.
am=a1+(m−1)d=0  ⟹  −4d+(m−1)d=0  ⟹  (m−5)d=0a_m = a_1 + (m-1)d = 0 \implies -4d + (m-1)d = 0 \implies (m-5)d = 0. Ortak fark sıfırdan farklı (d≠0d \neq 0) olduğundan, m−5=0  ⟹  m=5m - 5 = 0 \implies m = 5 bulunur.
Sıfıra eşit olan terimin indisini belirlemek için.

Key Concept

Aritmetik dizide ilk nn terim toplamı formülü olan Sn=n2[2a1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d] ifadesinin uygulanması ve dizinin genel terimi an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d ile ilişkilendirilmesi.
Estimated Time:2m 30s
Question 8Question →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

Bu dizide,
S9−S5=64S_9 - S_5 = 64
S6=48S_6 = 48

olduğuna göre, bu dizinin 10. terimi kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 21

Answer

Dizinin 10. terimi 21'dir.
Verilen toplam ve fark eşitliklerinden elde edilen 2a1+13d=322a_1 + 13d = 32 ve 2a1+5d=162a_1 + 5d = 16 denklem sistemi çözüldüğünde dizinin ortak farkı d=2d = 2 ve ilk terimi a1=3a_1 = 3 olarak bulunur. Bu değerlerle dizinin 10. terimi a10=a1+9d=3+18=21a_{10} = a_1 + 9d = 3 + 18 = 21 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
S9−S5S_9 - S_5 ifadesinin terimler ve ortak fark cinsinden eşitini bulma
2a1+13d=322a_1 + 13d = 32
S9−S5=a6+a7+a8+a9S_9 - S_5 = a_6 + a_7 + a_8 + a_9 eşitliğinde her terim a1a_1 ve dd cinsinden yazılarak toplanır.
2
S6S_6 terim toplamı formülünü kullanarak ikinci bir denklem elde etme
2a1+5d=162a_1 + 5d = 16
Sn=n2(2a1+(n−1)d)S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) formülünde n=6n = 6 yazılıp toplam 48'e eşitlenir.
3
Elde edilen denklem sistemini çözerek a1a_1 ve dd değerlerini bulma
d=2d = 2 ve a1=3a_1 = 3
İki denklemin taraf tarafa çıkarılmasıyla dd bulunur, ardından elde edilen değer denklemlerden birinde yerine yazılarak a1a_1 değeri çekilir.
4
Dizinin 10. terimi olan a10a_{10} değerini hesaplama
a10=21a_{10} = 21
a10=a1+9da_{10} = a_1 + 9d genel terim formülü uygulanır.

Key Concept

Aritmetik dizide ilk n terim toplamı formülü ve genel terim özellikleri
Question 9Question →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

Bu dizide ilk 8 terimin toplamı, ilk 4 terimin toplamının 4 katına eşittir.

Dizinin ilk terimi a1=3a_1 = 3 olduğuna göre, bu dizinin 10. terimi (a10a_{10}) kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 57

Answer

Dizinin 10. terimi 57'dir.
İlk nn terim toplamı formülünden elde edilen S8=4S4S_8 = 4S_4 eşitliği çözüldüğünde ortak fark ile ilk terim arasında d=2a1d = 2a_1 bağıntısı bulunur. a1=3a_1 = 3 olduğundan d=6d = 6 olur. Buradan dizinin 10. terimi a10=a1+9d=3+9⋅6=57a_{10} = a_1 + 9d = 3 + 9 \cdot 6 = 57 şeklinde doğru olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Aritmetik dizinin ilk nn terim toplamı formülün�� yazmak.
Sn=n2⋅[2a1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2} \cdot [2a_1 + (n-1)d]
Dizideki toplam ifadelerini ortak fark (dd) ve ilk terim (a1a_1) cinsinden ifade etmek için.
2
Soruda verilen S8=4S4S_8 = 4S_4 eşitliğini formüle uygulamak.
4(2a1+7d)=8(2a1+3d)  ⟹  2a1+7d=4a1+6d  ⟹  d=2a14(2a_1 + 7d) = 8(2a_1 + 3d) \implies 2a_1 + 7d = 4a_1 + 6d \implies d = 2a_1
İlk terim ile ortak fark arasındaki ilişkiyi bulmak için.
3
Verilen a1=3a_1 = 3 değerini kullanarak ortak farkı (dd) hesaplamak.
d=2⋅3=6d = 2 \cdot 3 = 6
Dizinin terimlerini bulabilmek amacıyla ortak farkı sayısal olarak belirlemek için.
4
Aritmetik dizinin genel terim formülünü kullanarak 10. terimi hesaplamak.
a10=a1+9d=3+9⋅6=57a_{10} = a_1 + 9d = 3 + 9 \cdot 6 = 57
Bizden istenen 10. terim değerine ulaşmak için.

Key Concept

Aritmetik dizilerde ilk nn terim toplamı formülü Sn=n2(2a1+(n−1)d)S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) ve genel terim formülü an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d bağıntılarıyla bulunur.
Question 10Question →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

Bu dizinin ilk terimi a1=3a_1 = 3 ve ortak farkı d=2d = 2'dir.

p<q<rp < q < r pozitif tam sayıları için SpS_p, SqS_q ve SrS_r toplamları sırasıyla bir geometrik dizinin ardışık üç terimi olduğuna göre, p+q+rp + q + r toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

Koşulu sağlayan p,q,rp, q, r değerlerinin en küçük toplamı 24'tür.
Aritmetik dizinin genel toplam formülü uygulandığında Sn=n(n+2)S_n = n(n+2) elde edilir. Sp,Sq,SrS_p, S_q, S_r toplamlarının geometrik dizi oluşturması için [q(q+2)]2=p(p+2)r(r+2)[q(q+2)]^2 = p(p+2)r(r+2) olmalıdır. Bu Diophantine denkleminin p<q<rp < q < r koşulunu sağlayan en küçük pozitif tam sayı çözümü p=2,q=6,r=16p=2, q=6, r=16 olup, bu değerlerin toplamı 24'tür.

Step-by-Step Solution

1
Aritmetik dizinin ilk nn teriminin toplam formülünü oluşturun.
Sn=n2[2a1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d] formülünde verilenler yerine yazılırsa; Sn=n2[2⋅3+(n−1)2]=n2[2n+4]=n(n+2)S_n = \frac{n}{2}[2 \cdot 3 + (n-1)2] = \frac{n}{2}[2n + 4] = n(n+2) elde edilir.
Soruda verilen dizinin toplam fonksiyonunu bulmak için aritmetik dizi toplam formülünü uygulamamız gerekir.
2
Geometrik dizi koşulunu uygulayın.
SpS_p, SqS_q, SrS_r terimleri geometrik bir dizinin ardışık üç terimi olduğundan Sq2=Sp⋅SrS_q^2 = S_p \cdot S_r olmalıdır. Buradan [q(q+2)]2=p(p+2)⋅r(r+2)[q(q+2)]^2 = p(p+2) \cdot r(r+2) denklemi elde edilir.
Bir geometrik dizide ortanca terimin karesi, kendisine eşit uzaklıktaki terimlerin çarpımına eşittir.
3
Değişken dönüşümü yaparak denklemi basitleştirin.
p(p+2)=(p+1)2−1p(p+2) = (p+1)^2 - 1 özdeşliği yardımıyla x=p+1x = p+1, y=r+1y = r+1 ve z=q+1z = q+1 dönüşümleri yapıldığında denklem: (z2−1)2=(x2−1)(y2−1)(z^2 - 1)^2 = (x^2 - 1)(y^2 - 1) halini alır. Burada p<q<rp < q < r olduğundan 1<x<z<y1 < x < z < y olmalıdır.
İfadeyi tam karelere benzeterek Diophantine (tam sayı) denklem çözümü yapmayı kolaylaştırmak için bu dönüşüm uygulanır.
4
Denklemin en küçük pozitif tam sayı çözümlerini analiz edin.
x=3x = 3 (p=2p = 2) için: 8(y2−1)=(z2−1)28(y^2 - 1) = (z^2 - 1)^2 olur. 8=2⋅228 = 2 \cdot 2^2 olduğundan y2−1y^2 - 1 ifadesinin 2⋅k22 \cdot k^2 biçiminde olması gerekir. Buradan y2−2k2=1y^2 - 2k^2 = 1 Pell denklemi elde edilir. Bu denklemin y>xy > x koşulunu sağlayan en küçük tam sayı çözümü y=17,k=12y = 17, k = 12 değerleridir. Bu durumda z2−1=2⋅2⋅12=48  ⟹  z2=49  ⟹  z=7z^2 - 1 = 2 \cdot 2 \cdot 12 = 48 \implies z^2 = 49 \implies z = 7 bulunur. Buradan p=2,q=6,r=16p = 2, q = 6, r = 16 elde edilir. Bu indisler için toplam 2+6+16=242 + 6 + 16 = 24 olur.
En küçük pozitif tam sayı indislerini bulmak için Pell denklemi teorisi ve çarpan analizi uygulanır.

Key Concept

Aritmetik dizilerde ilk nn terim toplamının geometrik dizi özellikleri ile birleştirilerek Diophantine denklem analiziyle çözülmesi.
Question 11Question →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

S18−S15=105S_{18} - S_{15} = 105
S10=120S_{10} = 120

eşitlikleri veriliyor.
Buna göre, bu dizinin ardışık bazı terimlerinin toplamını gösteren
ak+ak+1+ak+2+ak+3=80a_k + a_{k+1} + a_{k+2} + a_{k+3} = 80

eşitliğini sağlayan kk pozitif tam sayısı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Eşitliği sağlayan k pozitif tam sayısı 8'dir.
Verilen S18−S15=105S_{18} - S_{15} = 105 eşitliğinden ardışık üç terimin toplamı 3a17=105  ⟹  a17=353a_{17} = 105 \implies a_{17} = 35 bulunur. İlk nn terim toplamı formülü kullanılarak S10=5(2a1+9d)=120  ⟹  2a1+9d=24S_{10} = 5(2a_1 + 9d) = 120 \implies 2a_1 + 9d = 24 elde edilir. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde dizinin ilk terimi a1=3a_1 = 3 ve ortak farkı d=2d = 2 bulunur. Ardışık 4 terimin toplamı olan ak+ak+1+ak+2+ak+3=4a1+(4k+2)d=80a_k + a_{k+1} + a_{k+2} + a_{k+3} = 4a_1 + (4k + 2)d = 80 eşitliğinde bulunan değerler yerine yazıldığında 8k+16=80  ⟹  k=88k + 16 = 80 \implies k = 8 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
S18−S15S_{18} - S_{15} farkını dizi terimleri cinsinden yazıp a17a_{17} terimini bulmak.
a16+a17+a18=105  ⟹  3a17=105  ⟹  a17=35a_{16} + a_{17} + a_{18} = 105 \implies 3a_{17} = 105 \implies a_{17} = 35. Buradan a1+16d=35a_1 + 16d = 35 denklemi elde edilir.
Bir dizinin ilk 18 teriminin toplamından ilk 15 teriminin toplamı çıkarıldığında geriye son 3 terim (16., 17. ve 18. terimler) kalır. Aritmetik dizilerde ardışık üç terimin toplamı, ortadaki terimin 3 katına eşittir.
2
S10=120S_{10} = 120 bilgisini ilk nn terim toplamı formülünü kullanarak yazmak.
S10=5(2a1+9d)=120  ⟹  2a1+9d=24S_{10} = 5(2a_1 + 9d) = 120 \implies 2a_1 + 9d = 24 denklemi elde edilir.
Aritmetik dizilerde ilk nn terim toplamı Sn=n2[2a1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d] formülü ile hesaplanır.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek dizinin ilk terimi (a1a_1) ve ortak farkını (dd) bulmak.
d=2d = 2 ve a1=3a_1 = 3 olarak bulunur.
a1+16d=35a_1 + 16d = 35 denklemi 2 ile genişletilerek 2a1+32d=702a_1 + 32d = 70 elde edilir. Bu denklemden 2a1+9d=242a_1 + 9d = 24 çıkarılırsa 23d=46  ⟹  d=223d = 46 \implies d = 2 bulunur. dd değeri ilk denklemde yerine yazıldığında a1=3a_1 = 3 elde edilir.
4
ak+ak+1+ak+2+ak+3=80a_k + a_{k+1} + a_{k+2} + a_{k+3} = 80 eşitliğini a1a_1 ve dd cinsinden yazıp kk değerini hesaplamak.
8k+16=80  ⟹  8k=64  ⟹  k=88k + 16 = 80 \implies 8k = 64 \implies k = 8 bulunur.
Verilen toplam ak+ak+1+ak+2+ak+3=4a1+(4k+2)da_k + a_{k+1} + a_{k+2} + a_{k+3} = 4a_1 + (4k + 2)d olarak ifade edilebilir. a1=3a_1 = 3 ve d=2d = 2 değerleri yerleştirildiğinde 4(3)+(4k+2)(2)=12+8k+4=8k+16=804(3) + (4k + 2)(2) = 12 + 8k + 4 = 8k + 16 = 80 eşitliğinden kk değeri 8 olarak çözülür.

Key Concept

Aritmetik dizilerde ilk n terim toplamı formülü ve terimler arası ilişkiler
Question 12Question →

Bir aritmetik dizide baştan nn terimin toplamı SnS_n sembolüyle gösterilmektedir.

Bu dizide,
S12=−28S_{12} = -28
S28=−12S_{28} = -12

olduğuna göre, bu aritmetik dizinin baştan 4040 teriminin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 40

Answer

Bu aritmetik dizinin baştan 40 teriminin toplamı 40'tır.
Verilen toplam formülleri açılıp sadeleştirildiğinde 2a1+11d=−1432a_1 + 11d = -\frac{14}{3} ve 2a1+27d=−672a_1 + 27d = -\frac{6}{7} denklemleri elde edilir. Bu sistemden ortak fark d=521d = \frac{5}{21} bulunur. İstenen S40=20(2a1+39d)S_{40} = 20(2a_1 + 39d) ifadesinde 2a1+39d2a_1 + 39d yerine (2a1+11d)+28d(2a_1 + 11d) + 28d yazılarak değerler yerine konduğunda parantez içi 2, toplam ise 40 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Baştan nn terim toplam formülünü kullanarak S12S_{12} ve S28S_{28} ifadelerini açalım.
S12=6(2a1+11d)=−28  ⟹  2a1+11d=−143S_{12} = 6(2a_1 + 11d) = -28 \implies 2a_1 + 11d = -\frac{14}{3} ve S28=14(2a1+27d)=−12  ⟹  2a1+27d=−67S_{28} = 14(2a_1 + 27d) = -12 \implies 2a_1 + 27d = -\frac{6}{7}
Verilen terim toplamları ile ilk terim (a1a_1) ve ortak fark (dd) arasında ilişki kurmak.
2
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini taraf tarafa çıkararak dd değerini bulalım.
(2a1+27d)−(2a1+11d)=−67−(−143)  ⟹  16d=8021  ⟹  d=521(2a_1 + 27d) - (2a_1 + 11d) = -\frac{6}{7} - \left(-\frac{14}{3}\right) \implies 16d = \frac{80}{21} \implies d = \frac{5}{21}
Dizinin ortak farkını elde etmek.
3
Bulduğumuz ortak farkı kullanarak S40S_{40} formülünde yer alan 2a1+39d2a_1 + 39d ifadesinin değerini hesaplayalım.
2a1+39d=(2a1+11d)+28d=−143+28(521)=−143+203=22a_1 + 39d = (2a_1 + 11d) + 28d = -\frac{14}{3} + 28 \left(\frac{5}{21}\right) = -\frac{14}{3} + \frac{20}{3} = 2
a1a_1 terimini tek başına bulmaya gerek kalmadan işlemi sadeleştirmek.
4
Bulduğumuz 2a1+39d=22a_1 + 39d = 2 değerini S40S_{40} formülünde yerine koyarak sonucu hesaplayalım.
S40=20(2a1+39d)=20×2=40S_{40} = 20(2a_1 + 39d) = 20 \times 2 = 40
Bizden istenen baştan 40 terimin toplamını bulmak.

Key Concept

Aritmetik dizide ilk n terim toplamı formülü ve doğrusal denklem sistemlerinin çözümü.

Alternative Method

Aritmetik dizilerde Sk=−mS_k = -m ve Sm=−kS_m = -k (k≠mk \neq m) ise baştan k+mk+m terim toplamının Sk+m=k+mS_{k+m} = k+m olduğu genel formülünden faydalanılabilir. Bu soruda k=12k=12 ve m=28m=28 olduğundan S40=12+28=40S_{40} = 12+28 = 40 bulunur.
Estimated Time:3m 0s
Question 13Question →
Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n, bir (bn)(b_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı TnT_n olmak üzere, her nn pozitif tam sayısı için
SnTn=7n+14n+27\frac{S_n}{T_n} = \frac{7n + 1}{4n + 27}
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizilerin 11. terimlerinin oranı olan a11b11\frac{a_{11}}{b_{11}} değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 43\frac{4}{3}

Answer

Dizilerin 11. terimlerinin oranı 4/3 olarak bulunur.
İlk nn terim toplamı formüllerini oranladığımızda SnTn=a1+n−12d1b1+n−12d2\frac{S_n}{T_n} = \frac{a_1 + \frac{n-1}{2}d_1}{b_1 + \frac{n-1}{2}d_2} elde edilir. Bizden istenen 11. terimlerin oranı olan a1+10d1b1+10d2\frac{a_1 + 10d_1}{b_1 + 10d_2} ifadesini elde etmek için n−12=10\frac{n-1}{2} = 10 eşitliğinden n=21n = 21 bulunur. Verilen orantıda nn yerine 2121 yazıldığında 7⋅21+14⋅21+27=148111=43\frac{7 \cdot 21 + 1}{4 \cdot 21 + 27} = \frac{148}{111} = \frac{4}{3} sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Aritmetik dizilerin ilk nn terim toplamı formüllerini kullanarak SnS_n ve TnT_n ifadelerini yazmak.
Sn=n2[2a1+(n−1)d1]S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d_1] ve Tn=n2[2b1+(n−1)d2]T_n = \frac{n}{2}[2b_1 + (n-1)d_2]
Dizilerin toplamlarını ilk terim ve ortak fark cinsinden ifade etmek.
2
Bu toplamların oranını sadeleştirerek 11. terimlerle ilişkisini kurmak.
SnTn=2a1+(n−1)d12b1+(n−1)d2=a1+(n−12)d1b1+(n−12)d2\frac{S_n}{T_n} = \frac{2a_1 + (n-1)d_1}{2b_1 + (n-1)d_2} = \frac{a_1 + \left(\frac{n-1}{2}\right)d_1}{b_1 + \left(\frac{n-1}{2}\right)d_2}
Ortak çarpan olan n/2n/2 terimlerini sadeleştirip dizinin genel terim formülü olan an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d yapısına benzetmek.
3
11. terimlerin oranı olan a11b11=a1+10d1b1+10d2\frac{a_{11}}{b_{11}} = \frac{a_1 + 10d_1}{b_1 + 10d_2} ifadesini elde etmek için uygun nn değerini belirlemek.
n−12=10  ⟹  n−1=20  ⟹  n=21\frac{n-1}{2} = 10 \implies n - 1 = 20 \implies n = 21
İstenen terimlerin katsayısı olan 10'u elde etmek için gerekli terim sayısı olan nn değerini bulmak.
4
Bulunan n=21n = 21 değerini verilen toplam oranında yerine yazarak sonuca ulaşmak.
a11b11=7(21)+14(21)+27=148111=43\frac{a_{11}}{b_{11}} = \frac{7(21) + 1}{4(21) + 27} = \frac{148}{111} = \frac{4}{3}
n=21n = 21 için elde edilen oranın 11. terimlerin oranını doğrudan verdiğini bildiğimizden bu değeri hesaplamak.

Key Concept

Aritmetik dizilerde ilk n terim toplam formülü ile genel terim arasındaki ilişkinin kullanılması.
Question 14Question →

Terimleri gerçel sayılardan oluşan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

S9−S7=72S_9 - S_7 = 72
a3+a13=68a_3 + a_{13} = 68

olduğuna göre, bu dizinin ilk 20 teriminin toplamı (S20S_{20}) kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 880

Answer

İlk 20 terim toplamı 880'dir.
İlk 9 terim toplamı ile ilk 7 terim toplamının farkı olan 72, dizinin 8. ve 9. terimlerinin toplamına eşittir. Genel terim formülü kullanılarak bu toplam 2a1+15d=722a_1 + 15d = 72 şeklinde yazılır. Benzer şekilde, 3. ve 13. terimlerin toplamı olan 68 ifadesi 2a1+14d=682a_1 + 14d = 68 olarak yazılır. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde ortak fark d=4d = 4 ve ilk terim a1=6a_1 = 6 bulunur. İlk 20 terim toplamı formülü olan S20=10(2a1+19d)S_{20} = 10(2a_1 + 19d) ifadesinde bulunan değerler yerine yazıldığında doğru sonuç olan sekiz yüz seksen değeri hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
S9−S7S_9 - S_7 ifadesini terimler cinsinden yazmak.
S9−S7=a8+a9=72S_9 - S_7 = a_8 + a_9 = 72
İlk 9 terim toplamından ilk 7 terim toplamı çıkarıldığında geriye 8. ve 9. terimler kalır.
2
Verilen eşitlikleri dizinin ilk terimi (a1a_1) ve ortak farkı (dd) cinsinden ifade etmek.
2a1+15d=722a_1 + 15d = 72 ve 2a1+14d=682a_1 + 14d = 68
an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d genel terim formülü kullanılarak a8+a9=2a1+15da_8 + a_9 = 2a_1 + 15d ve a3+a13=2a1+14da_3 + a_{13} = 2a_1 + 14d denklemleri elde edilir.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek a1a_1 ve dd değerlerini bulmak.
d=4d = 4 ve a1=6a_1 = 6
İkinci denklem birinci denklemden çıkarılarak d=4d = 4 bulunur. Bu değer denklemlerden birinde yerine yazılarak a1=6a_1 = 6 elde edilir.
4
İlk 20 terim toplamını (S20S_{20}) hesaplamak.
S20=880S_{20} = 880
Sn=n2(2a1+(n−1)d)S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) formülünde n=20n=20, a1=6a_1=6 ve d=4d=4 değerleri yerine yazılarak S20=10(12+19⋅4)=880S_{20} = 10(12 + 19 \cdot 4) = 880 bulunur.

Key Concept

Aritmetik dizilerde ilk n terim toplamı formülü ile genel terim formülü arasındaki ilişki.
Question 15Question →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

Bu dizide,
S15=390S_{15} = 390
S5=30S_5 = 30

olduğuna göre, bu dizinin ortak farkı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Dizinin ortak farkı 4'tür.
Dizinin ilk nn terim toplamı formülü Sn=n2[2a1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d] bağıntısıyla verilir. S5=30S_5 = 30 için 5(a1+2d)=30  ⟹  a1+2d=65(a_1 + 2d) = 30 \implies a_1 + 2d = 6 elde edilir. S15=390S_{15} = 390 için 15(a1+7d)=390  ⟹  a1+7d=2615(a_1 + 7d) = 390 \implies a_1 + 7d = 26 elde edilir. Bu iki denklem taraf tarafa çıkarıldığında 5d=205d = 20 bağıntısından ortak fark d=4d = 4 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
İlk nn terim toplamı formülünü S5S_5 için yazıp sadeleştirmek
a1+2d=6a_1 + 2d = 6
Dizinin ilk terimi ile ortak farkı arasındaki ilk ilişkiyi elde etmek için.
2
İlk nn terim toplamı formülünü S15S_{15} için yazıp sadeleştirmek
a1+7d=26a_1 + 7d = 26
Dizinin ilk terimi ile ortak farkı arasındaki ikinci ilişkiyi elde etmek için.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek
d=4d = 4
Taraf tarafa çıkarma yöntemiyle a1a_1 terimini yok edip ortak farkı bulmak için.

Key Concept

Aritmetik dizide ilk nn terim toplamı formülü: Sn=n2[2a1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]
Question 16Question →

Bir aritmetik dizinin ilk 1010 teriminin toplamı 2525, ilk 2525 teriminin toplamı ise 1010 değerine eşittir.

Buna göre, bu aritmetik dizinin ilk 3535 teriminin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -35

Answer

Bu aritmetik dizinin ilk 35 teriminin toplamı -35'tir.
Verilen ilk 10 terim toplamı ve ilk 25 terim toplamı denklemlerinden elde edilen ilk terim ve ortak fark değerleri aritmetik dizi toplam formülünde yerine konulduğunda ilk 35 terim toplamı -35 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Aritmetik dizinin ilk nn terim toplamı formülünü yazıp verilen değerleri yerine koyalım.
Sn=n2[2a1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d] formülünden; S10=5(2a1+9d)=25  ⟹  2a1+9d=5S_{10} = 5(2a_1 + 9d) = 25 \implies 2a_1 + 9d = 5 ve S25=252(2a1+24d)=10  ⟹  2a1+24d=45S_{25} = \frac{25}{2}(2a_1 + 24d) = 10 \implies 2a_1 + 24d = \frac{4}{5} elde edilir.
Dizinin ilk terimi (a1a_1) ve ortak farkı (dd) arasındaki ilişkileri veren iki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşturmak için.
2
Elde edilen denklem sistemini çözerek dizinin ortak farkını (dd) ve ilk teriminin iki katını (2a12a_1) bulalım.
(2a1+24d)−(2a1+9d)=45−5  ⟹  15d=−215  ⟹  d=−725(2a_1 + 24d) - (2a_1 + 9d) = \frac{4}{5} - 5 \implies 15d = -\frac{21}{5} \implies d = -\frac{7}{25} olur. Buradan 2a1=5−9(−725)=188252a_1 = 5 - 9\left(-\frac{7}{25}\right) = \frac{188}{25} bulunur.
İlk 35 terimin toplamını hesaplamak için gerekli olan 2a12a_1 ve dd değerlerini belirlemek amacıyla.
3
İlk 35 terimin toplamını (S35S_{35}) hesaplayalım.
S35=352[2a1+34d]=352[18825+34(−725)]=352[188−23825]=352[−5025]=−35S_{35} = \frac{35}{2} [2a_1 + 34d] = \frac{35}{2} \left[\frac{188}{25} + 34\left(-\frac{7}{25}\right)\right] = \frac{35}{2} \left[\frac{188 - 238}{25}\right] = \frac{35}{2} \left[\frac{-50}{25}\right] = -35 bulunur.
İstenen toplam değerini doğrudan formül yardımıyla elde etmek için.

Key Concept

Aritmetik Dizide İlk n Terim Toplamı

Alternative Method

Bir aritmetik dizide ilk mm terim toplamı Sm=kS_m = k ve ilk kk terim toplamı Sk=mS_k = m (m≠km \neq k) ise ilk m+km+k terim toplamı Sm+k=−(m+k)S_{m+k} = -(m+k) olur. Soruda m=10m = 10 ve k=25k = 25 alındığında S35=−(10+25)=−35S_{35} = -(10 + 25) = -35 doğrudan bulunur.
Estimated Time:2m 30s
Question 17Question →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir. Her nn pozitif tam sayısı için,

S3n−S2n=5n2+2nS_{3n} - S_{2n} = 5n^2 + 2n

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre,

∑k=110a2k\sum_{k=1}^{10} a_{2k}

toplamının değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 230

Answer

Dizinin genel teriminin belirlenmesi ve çift indisli terimlerin toplamının 230 olarak bulunması
Verilen S3n−S2nS_{3n} - S_{2n} ifadesi, aritmetik dizi ilk n terim toplamı formülüne göre açılıp düzenlendiğinde n2n^2 ve nn terimlerinin katsayıları polinom eşitliğiyle eşleştirilir. Buradan dizinin ortak farkı d=2d = 2 ve ilk terimi a1=3a_1 = 3 olarak belirlenir. Bu değerlerle dizinin genel terimi an=2n+1a_n = 2n + 1 ve dolayısıyla çift indisli terimler a2k=4k+1a_{2k} = 4k + 1 şeklinde elde edilir. k=1k = 1'den 1010'a kadar olan a2ka_{2k} terimlerinin toplamı hesaplandığında sonuç 230 olur.

Step-by-Step Solution

1
Aritmetik dizinin ilk kk teriminin toplam formülü olan Sk=k2[2a1+(k−1)d]S_k = \frac{k}{2}[2a_1 + (k-1)d] ifadesi kullanılarak S3nS_{3n} ve S2nS_{2n} toplamları yazılır.
S3n=3n2[2a1+(3n−1)d]=3na1+9n2d−3nd2S_{3n} = \frac{3n}{2}[2a_1 + (3n-1)d] = 3n a_1 + \frac{9n^2d - 3nd}{2} ve S2n=2n2[2a1+(2n−1)d]=2na1+4n2d−2nd2S_{2n} = \frac{2n}{2}[2a_1 + (2n-1)d] = 2n a_1 + \frac{4n^2d - 2nd}{2} elde edilir.
Verilen eşitliği kullanarak dizinin ilk terimi (a1a_1) ve ortak farkı (dd) arasındaki ilişkileri belirlemek.
2
S3n−S2nS_{3n} - S_{2n} farkı hesaplanır ve verilen 5n2+2n5n^2 + 2n ifadesine eşitlenir.
S3n−S2n=na1+5n2d−nd2=(5d2)n2+(a1−d2)n=5n2+2nS_{3n} - S_{2n} = n a_1 + \frac{5n^2d - nd}{2} = \left(\frac{5d}{2}\right)n^2 + \left(a_1 - \frac{d}{2}\right)n = 5n^2 + 2n elde edilir.
Polinomların eşitliği ilkesini kullanarak katsayıları karşılaştırmak.
3
Katsayılar eşitlenerek ortak fark (dd) ve ilk terim (a1a_1) bulunur.
5d2=5  ⟹  d=2\frac{5d}{2} = 5 \implies d = 2 ve a1−d2=2  ⟹  a1−1=2  ⟹  a1=3a_1 - \frac{d}{2} = 2 \implies a_1 - 1 = 2 \implies a_1 = 3 bulunur.
Dizinin genel terimini oluşturmak için gerekli parametreleri elde etmek.
4
Dizinin genel terimi ana_n bulunur ve a2ka_{2k} ifadesi elde edilir.
an=a1+(n−1)d=3+(n−1)2=2n+1a_n = a_1 + (n-1)d = 3 + (n-1)2 = 2n + 1 ve buradan a2k=2(2k)+1=4k+1a_{2k} = 2(2k) + 1 = 4k + 1 bulunur.
İstenen toplam sembolündeki terimleri tanımlamak.
5
∑k=110a2k\sum_{k=1}^{10} a_{2k} toplamının değeri hesaplanır.
∑k=110(4k+1)=4(10×112)+10=220+10=230\sum_{k=1}^{10} (4k + 1) = 4 \left(\frac{10 \times 11}{2}\right) + 10 = 220 + 10 = 230 olarak bulunur.
İstenen toplamın sonucuna ulaşmak.

Key Concept

Aritmetik dizilerde ilk n terim toplam formülü ve genel terim özellikleri
Estimated Time:2m 30s
Question 18Question →
Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n olmak üzere, her nn pozitif tam sayısı için
S2n−Sn=3n2+5nS_{2n} - S_n = 3n^2 + 5n
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin 10. terimi (a10a_{10}) kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

Dizinin 10. terimi 24'tür.
Verilen S2n−Sn=3n2+5nS_{2n} - S_n = 3n^2 + 5n eşitliğinden yararlanarak dizinin ilk nn teriminin toplamı Sn=n2+5nS_n = n^2 + 5n olarak belirlenir. Ardından 10. terim olan a10a_{10}, ilk 10 terim toplamı (S10=150S_{10} = 150) ile ilk 9 terim toplamının (S9=126S_9 = 126) farkı alınarak 24 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Aritmetik dizilerde ilk nn terim toplamının genel biçimini belirlemek
Sn=An2+BnS_n = An^2 + Bn (burada A=d/2A = d/2 ve B=a1−d/2B = a_1 - d/2)
Herhangi bir aritmetik dizinin ilk nn teriminin toplamı nn değişkenine bağlı ikinci dereceden bir polinomdur.
2
S2n−SnS_{2n} - S_n farkını genel formül cinsinden ifade etmek
S2n−Sn=3An2+BnS_{2n} - S_n = 3An^2 + Bn
S2nS_{2n} ve SnS_n ifadeleri genel formüle göre yazılarak birbirinden çıkarılır.
3
Verilen bağıntı ile genel ifadeyi karşılaştırarak katsayıları eşitlemek
A=1A = 1 ve B=5B = 5
3An2+Bn=3n2+5n3An^2 + Bn = 3n^2 + 5n eşitliğinde aynı dereceli terimlerin katsayıları eşit olmalıdır.
4
İlk nn terim toplamı formülünü (SnS_n) yazmak
Sn=n2+5nS_n = n^2 + 5n
Bulunan AA ve BB değerleri genel formülde yerine konur.
5
Dizinin 10. terimini (a10a_{10}) ilk nn terim toplamı cinsinden ifade etmek
a10=S10−S9a_{10} = S_{10} - S_9
Bir dizide nn. terim, ilk nn terimin toplamı ile ilk n−1n-1 terimin toplamının farkına eşittir (an=Sn−Sn−1a_n = S_n - S_{n-1}).
6
S10S_{10} ve S9S_9 değerlerini hesaplayarak sonucu bulmak
a10=150−126=24a_{10} = 150 - 126 = 24
S10=102+5(10)=150S_{10} = 10^2 + 5(10) = 150 ve S9=92+5(9)=126S_9 = 9^2 + 5(9) = 126 değerleri çıkarılarak 10. terime ulaşılır.

Key Concept

Bir aritmetik dizide ilk nn terim toplamı SnS_n ile genel terim ana_n arasındaki ilişki (an=Sn−Sn−1a_n = S_n - S_{n-1}) ve ilk nn terim toplamının ikinci dereceden polinom yapısıdır.
Question 19Question →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

Bu dizide,
S8−S5=81S_8 - S_5 = 81
S6−S3=57S_6 - S_3 = 57

olduğuna göre, bu dizinin ilk 1010 teriminin toplamı (S10S_{10}) kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 210

Answer

İlk 10 terim toplamı 210'dur.
Verilen eşitliklerden ardışık terimlerin toplam özellikleri kullanılarak yedinci terim 27, beşinci terim ise 19 olarak hesaplanır. Bu iki terim arasındaki farktan ortak fark 4, ardından ilk terim 3 olarak bulunur. Elde edilen bu değerler ilk n terim toplamı formülünde yerine yazılarak ilk 10 terimin toplamı 210 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Ardışık terimlerin toplamı farkından yararlanarak yedinci terimi bulma.
S8−S5=a6+a7+a8=3a7=81⇒a7=27S_8 - S_5 = a_6 + a_7 + a_8 = 3a_7 = 81 \Rightarrow a_7 = 27 olur.
İlk 8 terimin toplamından ilk 5 terimin toplamı çıkarıldığında geriye 6., 7. ve 8. terimlerin toplamı kalır. Aritmetik dizide bu üç terimin toplamı, ortadaki terim olan yedinci terimin 3 katına eşittir.
2
Benzer şekilde ardışık terimlerin toplamı farkından beşinci terimi bulma.
S6−S3=a4+a5+a6=3a5=57⇒a5=19S_6 - S_3 = a_4 + a_5 + a_6 = 3a_5 = 57 \Rightarrow a_5 = 19 olur.
İlk 6 terimin toplamından ilk 3 terimin toplamı çıkarıldığında geriye 4., 5. ve 6. terimlerin toplamı kalır. Aritmetik dizide bu üç terimin toplamı, ortadaki terim olan beşinci terimin 3 katına eşittir.
3
Dizinin ortak farkını hesaplama.
a7=a5+2d⇒27=19+2d⇒2d=8⇒d=4a_7 = a_5 + 2d \Rightarrow 27 = 19 + 2d \Rightarrow 2d = 8 \Rightarrow d = 4 bulunur.
Dizinin yedinci terimi ile beşinci terimi arasındaki fark, ortak farkın 2 katına eşittir.
4
Dizinin ilk terimini bulma.
a5=a1+4d⇒19=a1+4(4)⇒a1=3a_5 = a_1 + 4d \Rightarrow 19 = a_1 + 4(4) \Rightarrow a_1 = 3 elde edilir.
Dizinin beşinci terimi ve ortak farkı bilindiğinden genel terim tanımından yararlanılarak ilk terim hesaplanır.
5
İlk 10 terim toplamını hesaplama.
S10=102(2a1+9d)=5(2(3)+9(4))=5(6+36)=210S_{10} = \frac{10}{2} (2a_1 + 9d) = 5 (2(3) + 9(4)) = 5(6 + 36) = 210 bulunur.
Aritmetik dizide ilk n terim toplamı formülü olan Sn=n2(2a1+(n−1)d)S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) ifadesinde elde edilen değerler yerine yazılır.

Key Concept

Aritmetik dizide ilk n terim toplamı ve terimler arasındaki indis ilişkileri.
Estimated Time:2m 0s
Question 20Question →

Bir sinema salonundaki koltuklar, ilk sırada belirli sayıda olmak üzere arkaya doğru her sırada sabit sayıda artarak yerleştirilmiştir. Bu salondaki ilk 6 sıradaki toplam koltuk sayısı 102, ilk 10 sıradaki toplam koltuk sayısı ise 250'dir.

Buna göre, bu sinema salonunun sadece 12. sırasında kaç adet koltuk vardır?

Show answer & explanation

Answer: 51

Answer

Sinema salonunun 12. sırasında 51 adet koltuk vardır.
Verilen ilk 6 sıranın toplamı (S6=102S_6 = 102) ve ilk 10 sıranın toplamı (S10=250S_{10} = 250) aritmetik dizi toplam formülü ile 2a1+5d=342a_1 + 5d = 34 ve 2a1+9d=502a_1 + 9d = 50 denklemlerini verir. Bu sistem çözüldüğünde ortak fark d=4d = 4 ve ilk terim a1=7a_1 = 7 bulunur. 12. sıradaki koltuk sayısı ise genel terim formülünden a12=a1+11d=7+11×4=51a_{12} = a_1 + 11d = 7 + 11 \times 4 = 51 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Aritmetik dizide ilk nn terim toplamı formülünü yazmak
Sn=n2[2a1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d]
Soruda verilen toplam koltuk sayılarını modellemek için aritmetik dizi toplam formülüne ihtiyaç duyulmaktadır.
2
İlk 6 sıradaki toplam koltuk sayısı bilgisisi ile birinci denklemi elde etmek
2a1+5d=342a_1 + 5d = 34
S6=102S_6 = 102 eşitliğini formülde yerine koyup sadeleştirmek için.
3
İlk 10 sıradaki toplam koltuk sayısı bilgisi ile ikinci denklemi elde etmek
2a1+9d=502a_1 + 9d = 50
S10=250S_{10} = 250 eşitliğini formülde yerine koyup sadeleştirmek için.
4
Denklem sistemini ortak çözerek ilk terim a1a_1 ve ortak fark dd değerlerini bulmak
d=4d = 4 ve a1=7a_1 = 7
12. sıradaki koltuk sayısını hesaplamak için gerekli olan ilk terim ve ortak farkı elde etmek amacıyla.
5
Dizinin 12. terimi olan a12a_{12} değerini hesaplamak
a12=51a_{12} = 51
Aritmetik dizinin genel terim formülü an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d ifadesinde bulunan değerleri yerine yazarak istenen sıradaki koltuk sayısını bulmak amacıyla.

Key Concept

Aritmetik dizilerde ilk nn terim toplamı Sn=n2[2a1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d] formülü ile bulunur.
Aritmetik Dizide İlk n Terim Toplamı Practice Questions — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin