Bir ABC üçgeninde D \in [BC] olacak şekilde bir D noktası alınıyor. 3|BD| = 2|DC| m(\wideh… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Bir $ABC$ üçgeninde $D \in [BC]$ olacak şekilde bir $D$ noktası alınıyor.

3|BD| = 2|DC|

m(\widehat{BAD}) = 30^\circ

m(\widehat{DAC}) = 45^\circ

olduğuna göre, $\frac{|AB|}{|AC|}$ oranı kaçtır?

A
$\frac{\sqrt{2}}{3}$
$\frac{2\sqrt{2}}{3}$ Answer
C
$\frac{3\sqrt{2}}{4}$
D
$\sqrt{2}$
E
$\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Answer

\frac{2\sqrt{2}}{3}

Ortak kenara ve bütünler açılara sahip iki üçgende Sinüs Teoremi uygulandığında, kenarların oranı taban parçalarının oranı ile açıların sinüs değerlerinin oranının çarpımına eşittir. Verilen oranlar yerine yazıldığında sonuç

\frac{2\sqrt{2}}{3}

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

Komşu iki üçgende Sinüs Teoremi bağıntılarını yazma

ABD

üçgeninde:

\frac{|AB|}{\sin(\widehat{ADB})} = \frac{|BD|}{\sin 30^\circ} \implies \sin(\widehat{ADB}) = \frac{|AB| \cdot \sin 30^\circ}{|BD|}

ADC

üçgeninde:

\frac{|AC|}{\sin(\widehat{ADC})} = \frac{|DC|}{\sin 45^\circ} \implies \sin(\widehat{ADC}) = \frac{|AC| \cdot \sin 45^\circ}{|DC|}

Her iki üçgenin ortak olan kenarı ve bütünler açılarından yararlanmak için Sinüs Teoremi uygulanır.

Bütünler açıların sinüs eşitliğini kullanarak bağıntıları birleştirme

\widehat{ADB} + \widehat{ADC} = 180^\circ

olduğundan

\sin(\widehat{ADB}) = \sin(\widehat{ADC})

olur. Buradan:

\frac{|AB| \cdot \sin 30^\circ}{|BD|} = \frac{|AC| \cdot \sin 45^\circ}{|DC|}

\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|} \cdot \frac{\sin 45^\circ}{\sin 30^\circ}

Birbirini

180^\circ

ye tamamlayan açıların sinüs değerleri eşittir.

Verilen oranları ve trigonometrik değerleri yerine yazarak sonucu bulma

3|BD| = 2|DC| \implies \frac{|BD|}{|DC|} = \frac{2}{3}

değerini ve

\sin 30^\circ = \frac{1}{2}

\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}

değerlerini denklemde yerine koyalım:

\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{2}{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}

Soruda verilen sayısal veriler ve standart açıların sinüs değerleri oranlanarak nihai sonuca ulaşılır.

Key Concept

Ortak kenara sahip komşu üçgenlerde Sinüs Teoremi uygulamaları

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic