Examkin

Question

Difficulty: Very hardTürevlenebilme ve Süreklilik İlişkisi
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=∣x2−4x+3∣−k∣x−c∣f(x) = |x^2 - 4x + 3| - k|x - c|
fonksiyonu yalnızca bir noktada türevsizdir.
Buna göre, k>0k > 0 olmak üzere, k+ck + c toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
  1. A
    4
  2. B
    6
  3. 8Answer
  4. D
    10
  5. E
    12

Answer

k + c toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı 8'dir.
Fonksiyonun yalnızca bir noktada türevsiz olması için, türevsizliğe sebep olan iki mutlak değer teriminin kritik noktalarından birinin çakışması ve o noktada türevlenebilirliğin sağlanması gerekir. Bu da c = 1 veya c = 3 olması durumunda mümkündür. Her iki durumda da sağ ve sol türevlerin eşitliğinden k = 2 bulunur. Böylece k + c toplamı 3 ve 5 değerlerini alabilir, bu değerlerin toplamı 8 olur.

Step-by-Step Solution

1
Kritik noktaları belirleme
x2−4x+3=(x−1)(x−3)x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3) ifadesinin kökleri x=1x = 1 ve x=3x = 3'tür. f(x)f(x) fonksiyonu ∣x2−4x+3∣|x^2 - 4x + 3| ve k∣x−c∣k|x-c| terimlerinin farkından oluşmaktadır. Bu bileşenlerin türevsiz olabileceği kritik noktalar x=1x = 1, x=3x = 3 ve x=cx = c'dir.
Mutlak değer içerisindeki ifadelerin köklerinde türevlenebilirlik bozulabilir, bu yüzden bu noktaları kritik nokta olarak ele almalıyız.
2
Türevsizlik noktalarının sayısını analiz etme
Fonksiyonun yalnızca bir noktada türevsiz olması istenmektedir. Eğer cc sayısı 1 veya 3'ten farklı olsaydı, fonksiyonun türevsiz olabileceği 3 farklı nokta olurdu ve bu noktalar birbirini sadeleştiremezdi. Bu nedenle türevsizlik noktalarından birinin elenmesi (türevlenebilir hale gelmesi) için c=1c = 1 veya c=3c = 3 olmalıdır.
İki mutlak değerli ifadenin türevsizlik noktalarının çakışması, bu noktada türevlerin birbirini sıfırlayarak fonksiyonun türevlenebilir olmasını sağlayabilir.
3
c = 1 durumunu inceleme
c=1c = 1 için f(x)=∣x2−4x+3∣−k∣x−1∣f(x) = |x^2 - 4x + 3| - k|x - 1| olur. Bu fonksiyon x=1x = 1 noktasında süreklidir. Sağdan ve soldan türevleri inceleyelim:
- x→1−x \to 1^- için: f(x)=(x2−4x+3)+k(x−1)  ⟹  f′(1−)=−2+kf(x) = (x^2 - 4x + 3) + k(x - 1) \implies f'(1^-) = -2 + k
- x→1+x \to 1^+ için: f(x)=−(x2−4x+3)−k(x−1)  ⟹  f′(1+)=2−kf(x) = -(x^2 - 4x + 3) - k(x - 1) \implies f'(1^+) = 2 - k
f′(1−)=f′(1+)  ⟹  −2+k=2−k  ⟹  k=2f'(1^-) = f'(1^+) \implies -2 + k = 2 - k \implies k = 2 bulunur. Bu durumda k+c=2+1=3k + c = 2 + 1 = 3 olur. Fonksiyon x=3x = 3 noktasında ise türevsiz kalmaya devam eder.
Fonksiyonun x = 1 noktasında türevlenebilir olması için sağ ve sol türevlerin eşit olması gerekir.
4
c = 3 durumunu inceleme
c=3c = 3 için f(x)=∣x2−4x+3∣−k∣x−3∣f(x) = |x^2 - 4x + 3| - k|x - 3| olur. Bu fonksiyon x=3x = 3 noktasında süreklidir. Sağdan ve soldan türevleri inceleyelim:
- x→3−x \to 3^- için: f(x)=−(x2−4x+3)+k(x−3)  ⟹  f′(3−)=−2+kf(x) = -(x^2 - 4x + 3) + k(x - 3) \implies f'(3^-) = -2 + k
- x→3+x \to 3^+ i��in: f(x)=(x2−4x+3)−k(x−3)  ⟹  f′(3+)=2−kf(x) = (x^2 - 4x + 3) - k(x - 3) \implies f'(3^+) = 2 - k
f′(3−)=f′(3+)  ⟹  −2+k=2−k  ⟹  k=2f'(3^-) = f'(3^+) \implies -2 + k = 2 - k \implies k = 2 bulunur. Bu durumda k+c=2+3=5k + c = 2 + 3 = 5 olur. Fonksiyon x=1x = 1 noktasında ise türevsiz kalmaya devam eder.
Fonksiyonun x = 3 noktasında türevlenebilir olması için sağ ve sol türevlerin eşit olması gerekir.
5
Değerlerin toplamını hesaplama
k+ck + c ifadesinin alabileceği farklı değerler 33 ve 55 olup, bu değerlerin toplamı 3+5=83 + 5 = 8 olarak hesaplanır.
Soru bizden elde edilen farklı k+ck + c değerlerinin toplamını istemektedir.

Key Concept

Mutlak değerli fonksiyonlarda türevlenebilme koşulu, sağ ve sol limit/türev kavramlarının süreklilikle ilişkisi.

Alternative Method

Alternatif olarak, türev tanımı (limit tanımı) kullanılarak x = 1 ve x = 3 noktalarındaki sağdan ve soldan limitler yardımıyla türevlenebilirlik doğrudan kontrol edilebilir.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Türevlenebilme ve Süreklilik İlişkisi

More questions from this topic