Examkin

Question

Difficulty: MediumTürevlenebilme ve Süreklilik İlişkisi

m,nm, n ve kk birer gerçel sayı olmak üzere, her x∈Rx \in \mathbb{R} için sürekli olan ff fonksiyonu

f(x)={x2+mx+n,x<2∣x−3∣+k,x≥2f(x) = \begin{cases} x^2 + mx + n, & x < 2 \\ |x - 3| + k, & x \ge 2 \end{cases}

biçiminde tanımlanmıştır.

ff fonksiyonunun türevinin olmadığı yalnızca bir nokta bulunduğuna göre, mm değeri kaçtır?

  1. A
    -7
  2. -5Answer
  3. C
    -4
  4. D
    -3
  5. E
    -1

Answer

Türevlenebilirlik ve süreklilik ilişkisine göre aranan bilinmeyen parametre değeri -5'tir.
Fonksiyonun türevinin olmadığı tek nokta x=3x = 3 olduğundan, sınır noktası olan x=2x = 2 noktasında türevli olması gerekir. x=2x = 2 noktasındaki sol türevin (4+m4+m) sağ türeve (−1-1) eşitlenmesiyle doğru değer elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
T��revlenemeyen noktanın belirlenmesi.
x=3x = 3 noktası, f(x)=∣x−3∣+kf(x) = |x - 3| + k ifadesinin içini sıfır yapan tek katlı kök olduğundan, fonksiyon bu noktada sürekli olmasına rağmen bir köşe (kırılma) noktasına sahiptir ve türevli değildir.
Mutlak değer fonksiyonları, içlerini sıfır yapan tek katlı köklerde sürekli olsalar bile türevlenebilir değildirler.
2
Kritik sınır noktası olan x=2x = 2 noktasındaki türevlenebilirlik koşulunun incelenmesi.
ff fonksiyonunun t��revinin olmadığı yalnızca bir nokta (x=3x = 3) olduğu belirtildiğine göre, fonksiyon diğer kritik nokta olan x=2x = 2 noktasında türevlenebilir olmalıdır.
Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilmesi için o noktada sürekli olması ve o noktadaki sağ ile sol türevlerinin eşit olması gerekir.
3
x=2x = 2 noktasındaki sağ ve sol türevlerin hesaplanıp eşitlenmesi.
x<2x < 2 için f′(x)=2x+m  ⟹  f′(2−)=4+mf'(x) = 2x + m \implies f'(2^-) = 4 + m olur. 2<x<32 < x < 3 aralığında x−3<0x-3 < 0 olduğundan ∣x−3∣=3−x|x-3| = 3-x olarak dışarı çıkar ve bu aralıktaki türevi f′(x)=−1  ⟹  f′(2+)=−1f'(x) = -1 \implies f'(2^+) = -1 bulunur. Bu türevlerin eşitliğinden 4+m=−1  ⟹  m=−54 + m = -1 \implies m = -5 elde edilir.
x=2x = 2 noktasında türevin var olabilmesi için sol türevin sağ türeve eşit olması zorunludur.

Key Concept

Bir fonksiyonun parçalı tanımlandığı sınır noktasında türevlenebilmesi için öncelikle o noktada sürekli olması, ardından o noktadaki sağ ve sol türevlerinin birbirine eşit olması gerekir. Mutlak değer fonksiyonları ise içlerini sıfır yapan noktalarda sürekli olsalar dahi türevli olmayabilirler.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Türevlenebilme ve Süreklilik İlişkisi

More questions from this topic