Examkin

Question

Difficulty: HardTürevlenebilme ve Süreklilik İlişkisi

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve her noktada türevlenebilir bir ff fonksiyonu için g(x)=f(x)⋅∣f(x)∣g(x) = f(x) \cdot |f(x)| şeklinde tanımlanan gg fonksiyonunun gerçel sayılar kümesi üzerinde her noktada türevlenebilir olduğu iddiası doğru mudur?

Answer: Answer

Answer

Verilen iddia doğrudur.
Verilen iddia doğrudur çünkü f(x)f(x) fonksiyonunun türevlenebilir olması, g(x)=f(x)∣f(x)∣g(x) = f(x)|f(x)| fonksiyonunun f(x0)=0f(x_0)=0 olan kritik noktalarda da türevinin limit tanımıyla incelendiğinde türevlenebilir olduğunu ve bu türevin değerinin sıfır olduğunu gösterir.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun sıfırdan farklı olduğu durumları inceleyin.
f(x0)≠0f(x_0) \neq 0 olan bir x0x_0 noktası için ff sürekli olduğundan, bu noktanın komşuluğunda f(x)f(x) işaret değiştirmez. Eğer f(x)>0f(x) > 0 ise komşulukta g(x)=f(x)2g(x) = f(x)^2 olur ve türevi g′(x)=2f(x)f′(x)g'(x) = 2f(x)f'(x)'tir. Eğer f(x)<0f(x) < 0 ise komşulukta g(x)=−f(x)2g(x) = -f(x)^2 olur ve türevi g′(x)=−2f(x)f′(x)g'(x) = -2f(x)f'(x)'tir. Her iki durumda da türev mevcuttur.
Sıfırdan farklı noktalarda mutlak değerin dışarıya nasıl çıkacağı belirlenerek türevlenebilirlik doğrudan gösterilir.
2
Fonksiyonun sıfır olduğu durumları türevin tanımı yardımıyla inceleyin.
f(x0)=0f(x_0) = 0 olan bir x0x_0 noktası için g(x0)=0g(x_0) = 0 olur. Türevin tanımından: g′(x0)=lim⁡x→x0g(x)−g(x0)x−x0=lim⁡x→x0f(x)∣f(x)∣−0x−x0=lim⁡x→x0(f(x)−f(x0)x−x0⋅∣f(x)∣)g'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)|f(x)| - 0}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \left( \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \cdot |f(x)| \right) yazılır.
Mutlak değerin içini sıfır yapan kritik noktalarda doğrudan limit tanımını kullanmak en güvenilir yöntemdir.
3
Limit ifadesinin sonucunu hesaplayın.
lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0=f′(x0)\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = f'(x_0) (türevli olduğu için mevcuttur) ve lim⁡x→x0∣f(x)∣=∣f(x0)∣=0\lim_{x \to x_0} |f(x)| = |f(x_0)| = 0 (sürekli olduğu için) olduğundan, bu iki limitin çarpımı g′(x0)=f′(x0)⋅0=0g'(x_0) = f'(x_0) \cdot 0 = 0 olarak bulunur. Dolayısıyla g′(x0)g'(x_0) türevi mevcuttur ve sıfıra eşittir.
Çarpım limit kuralı uygulanarak limitin varlığı ve değeri gösterilir.

Key Concept

Türevlenebilme ve süreklilik ilişkisinde mutlak değerli ifadelerin kritik noktalardaki türevlenebilirliğinin türev tanımıyla incelenmesi
Rate this question

Topics

Türevlenebilme ve Süreklilik İlişkisi

More questions from this topic