A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} kümesinden rastgele seçilen birbirinden farklı üç sayı küçükten b… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ kümesinden rastgele seçilen birbirinden farklı üç sayı küçükten büyüğe doğru sıralanarak sırasıyla $a$ , $b$ ve $c$ olarak belirleniyor. Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ uzunluklarına sahip üç doğrunun uç uca eklenmesiyle bir üçgen oluşturulabilme olasılığı kaçtır?

A
$\frac{13}{20}$
$\frac{7}{20}$ Answer
C
$\frac{7}{120}$
D
$\frac{3}{10}$
E
$\frac{3}{20}$

Answer

Seçilen sayıların bir üçgen oluşturma olasılığı 7/20'dir.

Seçilen üç farklı sayı için

a < b < c

sıralaması yapıldığında, bu sayıların bir üçgen oluşturması için

a + b > c

eşitsizliğinin sağlanması gerekir.

\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}

kümesinden seçilebilecek 20 farklı üçlüden sadece 7 tanesi bu şartı sağlar. Olasılık bu nedenle 7/20'dir.

Step-by-Step Solution

Tüm olası durumların sayısını belirlemek için kümenin 6 elemanından rastgele 3 eleman seçilir.

Örnek uzayın eleman sayısı

\binom{6}{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20

olur.

Seçilen elemanların kendi arasındaki sırası önemli olmadığından kombinasyon hesabı kullanılır.

Seçilen

a < b < c

sayıları için üçgen oluşturma şartı olan

a + b > c

eşitsizliğini sağlayan üçlüleri belirlemek.

Bu şartı sağlayan

(a, b, c)

ü��lüleri:
-

c = 6

için:

(2, 5, 6)

(3, 4, 6)

(3, 5, 6)

(4, 5, 6)

(4 durum)
-

c = 5

için:

(2, 4, 5)

(3, 4, 5)

(2 durum)
-

c = 4

için:

(2, 3, 4)

(1 durum)
olmak üzere toplam 7 tanedir.

a < b < c

sıralaması verildiğinden diğer üçgen eşitsizlikleri olan

a + c > b

b + c > a

her zaman doğrudur. Sadece en büyük kenara göre eşitsizlik kontrol edilmelidir.

İstenen olasılık değerini hesaplamak.

Olasılık =

\frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Tüm Durumların Sayısı}} = \frac{7}{20}

bulunur.

Basit olayların olasılığı, istenen durum sayısının tüm durumların sayısına bölünmesiyle hesaplanır.

Key Concept

Kombinasyon yardımıyla örnek uzay ve istenen olay durumlarının hesaplanarak basit olayların olasılığının bulunması.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic