Examkin

Question

Difficulty: Mediumİkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri
(x−2)2(x+1)x−3≤0\frac{(x - 2)^2(x + 1)}{x - 3} \le 0
x2−4x+3≤0x^2 - 4x + 3 \le 0

olduğuna göre, bu eşitsizlik sisteminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. [1,3)[1, 3)Answer
  2. B
    [1,3][1, 3]
  3. C
    [2,3)[2, 3)
  4. D
    [2,3][2, 3]
  5. E
    [1,2)∪(2,3)[1, 2) \cup (2, 3)

Answer

[1,3)[1, 3) yarı açık aralığı
Birinci eşitsizliğin çözüm kümesi, çift katlı kök özelliği ve payda tanımsızlığı dikkate alınarak [−1,3)[-1, 3) olarak bulunur. İkinci eşitsizliğin çözüm kümesi ise [1,3][1, 3] olarak elde edilir. İki aralığın kesişimi alındığında [1,3)[1, 3) yarı açık aralığı doğru cevap olur.

Step-by-Step Solution

1
Birinci eşitsizliğin köklerini belirleme ve işaret tablosunu oluşturma.
Payın kökleri x=2x = 2 (çift katlı) ve x=−1x = -1 (tek katlı). Paydanın kökü x=3x = 3 (tek katlı). İşaret tablosu en sağdan ++ ile başlar; 33 kökünde −- olur, 22 çift katlı kökünde değişmeyip −- kalır, −1-1 kökünde ++ olur.
Rasyonel eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak amacıyla işaret tablosunu doğru şekilde hazırlamak gerekir.
2
Birinci eşitsizliğin çözüm kümesini yazma.
İfadenin sıfırdan küçük veya eşit olduğu aralık [−1,3)[-1, 3) olarak bulunur. Paydayı sıfır yapan x=3x = 3 değeri çözüm kümesine dahil edilmez.
Eşitlik durumlarında payın kökleri dahil edilirken paydayı sıfır yapan kökler tanımsızlık nedeniyle hariç tutulur.
3
İkinci eşitsizliğin köklerini bulma ve çözüm kümesini yazma.
x2−4x+3≤0  ⟹  (x−1)(x−3)≤0x^2 - 4x + 3 \le 0 \implies (x - 1)(x - 3) \le 0 olduğundan kökler 11 ve 33'tür. Çözüm kümesi [1,3][1, 3] kapalı aralığıdır.
İkinci dereceden eşitsizliğin köklerini çarpanlara ayırma yöntemiyle bulup çözüm aralığını belirlemek gerekir.
4
İki eşitsizliğin çözüm kümelerinin kesişimini alma.
[−1,3)∩[1,3]=[1,3)[-1, 3) \cap [1, 3] = [1, 3) aralığı elde edilir.
Eşitsizlik sisteminin genel çözüm kümesi, sistemi oluşturan tüm eşitsizliklerin ortak sağlandığı bölgedir.

Key Concept

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerinin çözümünde her bir eşitsizliğin çözüm kümesi ayrı ayrı bulunup kesiştirilir. İşaret tablosu oluşturulurken çift katlı köklere ve paydayı sıfır yapan tanımsızlık değerlerine dikkat edilmelidir.
Rate this question

Topics

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri