Examkin

Question

Difficulty: HardOrtalama Değişim Hızı

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonunun [1,5][1, 5] kapalı aralığındaki ortalama değişim hızı 33 olarak verilmiştir.

gg fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
g(x)=f(2x−1)+x2g(x) = f(2x - 1) + x^2
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, gg fonksiyonunun [1,3][1, 3] kapalı aralığındaki ortalama değişim hızı kaçtır?

  1. A
    5
  2. B
    7
  3. C
    8
  4. 10Answer
  5. E
    11

Answer

g fonksiyonunun belirtilen aralıktaki ortalama değişim hızı 10'dur.
Doğru cevap olan 10 değeri, ortalama değişim hızı tanımından yola çıkılarak bulunur. ff fonksiyonunun [1,5][1, 5] aralığındaki hızı 3 olduğundan f(5)−f(1)=12f(5) - f(1) = 12 elde edilir. gg fonksiyonunun sınır değerleri farkı g(3)−g(1)=f(5)−f(1)+8=20g(3) - g(1) = f(5) - f(1) + 8 = 20 olur. Bu fark aralık boyu olan 2'ye bölündüğünde ortalama değişim hızı 10 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
ff fonksiyonunun [1,5][1, 5] aralığındaki ortalama değişim hızı formülü yaz��lır ve verilen değer yerine konur.
f(5)−f(1)5−1=3  ⟹  f(5)−f(1)=12\frac{f(5) - f(1)}{5 - 1} = 3 \implies f(5) - f(1) = 12
gg fonksiyonunun değişimini hesaplarken kullanılacak olan f(5)−f(1)f(5) - f(1) farkını bulmak için.
2
gg fonksiyonunun [1,3][1, 3] aralığındaki ortalama değişim hızı form��lü yazılır.
Ortalama Deg˘is¸im Hızı=g(3)−g(1)3−1\text{Ortalama Değişim Hızı} = \frac{g(3) - g(1)}{3 - 1}
İstenen aralıktaki ortalama değişim hızı tanımını uygulamak için.
3
g(3)g(3) ve g(1)g(1) değerleri tanımlanan fonksiyonda yerlerine yazılarak ff cinsinden elde edilir.
g(3)=f(2⋅3−1)+32=f(5)+9g(3) = f(2 \cdot 3 - 1) + 3^2 = f(5) + 9
g(1)=f(2⋅1−1)+12=f(1)+1g(1) = f(2 \cdot 1 - 1) + 1^2 = f(1) + 1
gg fonksiyonunun sınır değerlerini belirlemek için.
4
g(3)−g(1)g(3) - g(1) farkı hesaplanır ve f(5)−f(1)=12f(5) - f(1) = 12 eşitliği yerine yazıl��r.
g(3)−g(1)=(f(5)+9)−(f(1)+1)=f(5)−f(1)+8=12+8=20g(3) - g(1) = (f(5) + 9) - (f(1) + 1) = f(5) - f(1) + 8 = 12 + 8 = 20
gg fonksiyonunun bu aralıktaki toplam değişim miktarını belirlemek için.
5
Toplam değişim miktarı, aralık genişliği olan 3−1=23 - 1 = 2 değerine bölünerek ortalama değişim hızı hesaplanır.
Ortalama Deg˘is¸im Hızı=202=10\text{Ortalama Değişim Hızı} = \frac{20}{2} = 10
Nihai ortalama değişim hızını bulmak için.

Key Concept

Bir fonksiyonun [a,b][a, b] aralığındaki ortalama değişim hızı f(b)−f(a)b−a\frac{f(b) - f(a)}{b - a} formülüyle hesaplanır.

Alternative Method

Özel bir doğrusal fonksiyon seçilerek modelleme yapılabilir. f(x)f(x) fonksiyonunun [1,5][1, 5] aralığındaki ortalama değişim hızı 33 olduğundan f(x)=3xf(x) = 3x alınabilir. Bu durumda g(x)=3(2x−1)+x2=x2+6x−3g(x) = 3(2x - 1) + x^2 = x^2 + 6x - 3 olur. g(x)g(x)'in [1,3][1, 3] aralığındaki ortalama değişim hızı ise g(3)−g(1)3−1=(9+18−3)−(1+6−3)2=24−42=10\frac{g(3) - g(1)}{3 - 1} = \frac{(9 + 18 - 3) - (1 + 6 - 3)}{2} = \frac{24 - 4}{2} = 10 olarak hızlıca hesaplanabilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Ortalama Değişim Hızı

More questions from this topic