Katsayıları A = \{-3, -2, -1, 1, 2, 3\} k��mesinden rastgele ve birbirinden farklı olarak … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Katsayıları $A = \{-3, -2, -1, 1, 2, 3\}$ k��mesinden rastgele ve birbirinden farklı olarak seçilen $a$ , $b$ ve $c$ sayıları ile $P(x) = ax^2 + bx + c$ parabolü oluşturuluyor. Buna göre, bu parabolün tepe noktasının koordinat sisteminin ikinci bölgesinde olma olasılığı kaçtır?

A
$\frac{1}{6}$
$\frac{1}{5}$ Answer
C
$\frac{1}{4}$
D
$\frac{11}{30}$
E
$\frac{37}{120}$

Answer

Parabolün tepe noktasının ikinci bölgede olma olasılığı

\frac{1}{5}

'tir.

Parabolün tepe noktasının ikinci bölgede bulunması için tepe noktasının apsisinin negatif (

r < 0

) ve ordinatının pozitif (

k > 0

) olması şarttır. Bu şartlar incelendiğinde,

a

b

katsayılarının aynı işaretli olması gerektiği ve

c > \frac{b^2}{4a}

eşitsizliğinin sağlanması gerektiği görülür. Kümenin elemanları arasından bu koşula uyan tüm durumlar sayıldığında toplam 24 uygun katsayı üçlüsü elde edilir. Tüm olası üçlülerin sayısı 120 olduğundan, istenen olasılık değeri

\frac{24}{120} = \frac{1}{5}

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

Tüm olası durumların sayısını (örnek uzayın eleman sayısını) belirlemek.

Örnek uzayın eleman sayısı

s(E) = P(6, 3) = 6 \times 5 \times 4 = 120

olarak bulunur.

A

kümesinin 6 elemanı arasından sırasıyla ve birbirinden farklı 3 eleman seçilerek oluşturulabilecek

(a, b, c)

sıralı üçlülerinin toplam sayısını bulmak gerekir.

Parabolün tepe noktasının koordinat sisteminin ikinci bölgesinde olması için gereken koşulları tespit etmek.

Tepe noktası

T(r, k)

için

r < 0

k > 0

olmalıdır.

r = -\frac{b}{2a} < 0 \implies \frac{b}{2a} > 0

olduğundan

a

b

aynı işaretli olmalıdır.

k = c - \frac{b^2}{4a} > 0 \implies c > \frac{b^2}{4a}

koşulu sağlanmalıdır.

İkinci bölgedeki noktaların apsisleri negatif, ordinatları pozitiftir.

a

b

katsayılarının her ikisinin de pozitif olduğu durumu (Durum 1) incelemek.

a, b \in \{1, 2, 3\}

için

(a, b)

ikilileri ve bunlara uygun

c \in A \setminus \{a, b\}

değerleri şunlardır:

(1, 2) \implies c > 1 \implies c = 3

(1 durum);

(1, 3) \implies c > 2.25 \implies

uygun

c

yok (0 durum);

(2, 1) \implies c > 0.125 \implies c = 3

(1 durum);

(2, 3) \implies c > 1.125 \implies

uygun

c

yok (0 durum);

(3, 1) \implies c > \frac{1}{12} \implies c = 2

(1 durum);

(3, 2) \implies c > \frac{1}{3} \implies c = 1

(1 durum). Toplam 4 durum vardır.

Pozitif katsayı ikilileri için

c > \frac{b^2}{4a}

eşitsizliğini sağlayan

c

sayılarını belirlemek için.

a

b

katsayılarının her ikisinin de negatif olduğu durumu (Durum 2) incelemek.

a, b \in \{-3, -2, -1\}

için

(a, b)

ikilileri ve bunlara uygun

c \in A \setminus \{a, b\}

değerleri şunlardır:

(-1, -2) \implies c > -1 \implies c \in \{1, 2, 3\}

(3 durum);

(-1, -3) \implies c > -2.25 \implies c \in \{-2, 1, 2, 3\}

(4 durum);

(-2, -1) \implies c > -0.125 \implies c \in \{1, 2, 3\}

(3 durum);

(-2, -3) \implies c > -1.125 \implies c \in \{-1, 1, 2, 3\}

(4 durum);

(-3, -1) \implies c > -0.083 \implies c \in \{1, 2, 3\}

(3 durum);

(-3, -2) \implies c > -0.333 \implies c \in \{1, 2, 3\}

(3 durum). Toplam

3+4+3+4+3+3 = 20

durum vardır.

Negatif katsayı ikilileri için

c > \frac{b^2}{4a}

eşitsizliğini sağlayan

c

sayılarını belirlemek için.

İstenen olayın gerçekleşme olasılığını hesaplamak.

Olasılık değeri

P = \frac{4 + 20}{120} = \frac{24}{120} = \frac{1}{5}

olarak bulunur.

Olasılık tanımı gereği, istenen durumların sayısının tüm durumların sayısına bölünmesi gerekir.

Key Concept

Basit Olayların Olasılığı

Estimated Time:2m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic