Examkin

Question

Difficulty: HardParabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni
Dik koordinat düzleminde, tepe noktası analitik düzlemin birinci bölgesinde olan
f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c
parabolünün simetri ekseni x=2x = 2 doğrusudur.

Parabol, xx-eksenini farklı AA ve BB noktalarında kesmektedir. Parabolün tepe noktası TT olmak üzere, köşeleri TT, AA ve BB noktaları olan TABTAB üçgeni bir eşkenar üçgendir.

Parabolün yy-eksenini kestiği noktanın ordinatı −1-1 olduğuna göre, f(−2)f(-2) değeri kaçtır?

Answer: -13

Answer

Parabolün x = -2 noktasındaki değeri -13't��r.
Parabolün simetri ekseni x=2x=2 olduğundan tepe noktasının apsisi r=2r=2 olur. TABTAB eşkenar üçgeninin yüksekliği k=d3k = d\sqrt{3} bağıntısıyla ifade edilir. Köklerin simetri eksenine uzaklığı dd olduğundan f(2−d)=0f(2-d)=0 eşitliği k=−ad2k = -ad^2 sonucunu verir. Bu iki bağıntıdan d=−3ad = -\frac{\sqrt{3}}{a} ve k=−3ak = -\frac{3}{a} elde edilir. f(0)=−1f(0) = -1 bilgisi kullanılarak 4a−3a=−1  ⟹  4a2+a−3=04a - \frac{3}{a} = -1 \implies 4a^2+a-3=0 denklemi kurulur. Tepe noktası birinci bölgede olduğundan k>0k > 0 ve dolayısıyla a<0a < 0 olmalıdır. Bu şartı sağlayan a=−1a = -1 değeri kullanılarak parabol denklemi f(x)=−(x−2)2+3f(x) = -(x-2)^2 + 3 olarak bulunur. Burada x=−2x = -2 yazıldığında sonuç −13-13 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Simetri ekseni kullanılarak tepe noktasının koordinatları belirlenir.
r=2r = 2 ve T(2,k)T(2, k) (k>0k > 0)
Simetri ekseni x=rx = r doğrusudur ve tepe noktası birinci bölgededir.
2
Eşkenar üçgen geometrisi ile tepe noktasının ordinatı ve köklerin simetri eksenine olan uzaklığı ilişkilendirilir.
k=d3k = d\sqrt{3}
Eşkenar üçgende yükseklik, tabanın yarısının 3\sqrt{3} katıdır.
3
Parabolün tepe noktası formundan yararlanılarak katsayılar arasındaki ilişki kurulur.
d=−3ad = -\frac{\sqrt{3}}{a} ve k=−3ak = -\frac{3}{a}
f(2−d)=0  ⟹  a⋅d2+k=0f(2-d) = 0 \implies a \cdot d^2 + k = 0 denkleminden elde edilir.
4
y-eksenini kestiği nokta kullanılarak başkatsayı aa değeri bulunur.
a=−1a = -1
f(0)=4a−3a=−1  ⟹  4a2+a−3=0  ⟹  a=−1f(0) = 4a - \frac{3}{a} = -1 \implies 4a^2 + a - 3 = 0 \implies a = -1 (kollar aşağı doğru olmalı ve tepe noktası birinci bölgede bulunmalıdır).
5
Parabol denklemi oluşturulur ve istenen değer hesaplanır.
f(−2)=−13f(-2) = -13
f(x)=−(x−2)2+3f(x) = -(x-2)^2 + 3 fonksiyonunda x=−2x = -2 yazılır.

Key Concept

Parabolün simetri ekseni, tepe noktası ve köklerin simetrisi arasındaki geometrik ve cebirsel ilişkiler.
Rate this question

Topics

Parabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni

More questions from this topic