Examkin

Question

Difficulty: MediumParabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x2−6x+mf(x) = x^2 - 6x + m
g(x)=−x2−2x+ng(x) = -x^2 - 2x + n
parabollerinin tepe noktaları sırasıyla T1T_1 ve T2T_2 noktalarıdır.

T1T_1 ve T2T_2 noktaları y=xy = x doğrusuna göre simetrik olduğuna göre, m+nm + n toplamı kaçtır?

Answer: 10

Answer

m + n toplamının değeri 10'dur.
Doğru sonuca ulaşmak için parabollerin tepe noktalarının koordinatları T(r,k)T(r, k) formülü kullanılarak T1(3,m−9)T_1(3, m-9) ve T2(−1,n+1)T_2(-1, n+1) olarak belirlenir. y=xy = x doğrusuna göre simetri kuralı gereği koordinatlar yer değiştireceğinden m−9=−1m-9 = -1 ve n+1=3n+1 = 3 eşitliklerinden m=8m = 8 ve n=2n = 2 elde edilir. Bu değerlerin toplamı olan 10 doğru cevaptır.

Step-by-Step Solution

1
f(x)=x2−6x+mf(x) = x^2 - 6x + m parabolünün tepe noktasının koordinatlarını bulmak.
T1(3,m−9)T_1(3, m - 9)
Tepe noktasının apsisi r1=−b2a=−−62(1)=3r_1 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2(1)} = 3 olur. Ordinatı ise k1=f(3)=32−6(3)+m=m−9k_1 = f(3) = 3^2 - 6(3) + m = m - 9 olarak bulunur.
2
g(x)=−x2−2x+ng(x) = -x^2 - 2x + n parabolünün tepe noktasının koordinatlarını bulmak.
T2(−1,n+1)T_2(-1, n + 1)
Tepe noktasının apsisi r2=−b2a=−−22(−1)=−1r_2 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2(-1)} = -1 olur. Ordinatı ise k2=g(−1)=−(−1)2−2(−1)+n=n+1k_2 = g(-1) = -(-1)^2 - 2(-1) + n = n + 1 olarak bulunur.
3
T1T_1 ve T2T_2 noktalarının y=xy = x doğrusuna göre simetrik olması özelliğini kullanarak mm ve nn değerlerini hesaplamak.
m=8m = 8, n=2n = 2 ve m+n=10m + n = 10
Analitik düzlemde bir A(a,b)A(a, b) noktasının y=xy = x doğrusuna göre simetriği B(b,a)B(b, a) noktasıdır. Buna göre, T1(3,m−9)T_1(3, m - 9) noktasının simetriği olan (m−9,3)(m - 9, 3) noktası T2(−1,n+1)T_2(-1, n + 1) noktasına eşit olmalıdır. Buradan m−9=−1  ⟹  m=8m - 9 = -1 \implies m = 8 ve n+1=3  ⟹  n=2n + 1 = 3 \implies n = 2 elde edilir. Bu değerlerin toplamı m+n=8+2=10m + n = 8 + 2 = 10 olur.

Key Concept

Parabolün tepe noktası koordinatlarının hesabı ve analitik düzlemde y=xy = x doğrusuna göre simetri ilişkisi.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Parabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni

More questions from this topic