Examkin

Question

Difficulty: Very hardTürevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−ax+2f(x) = x^2 - ax + 2
g(x)=x3−3x2+bx+1g(x) = x^3 - 3x^2 + bx + 1
fonksiyonları veriliyor. ff fonksiyonunun grafiğine x=1x = 1 apsisli noktasından çizilen teğet doğrusu ile gg fonksiyonunun grafiğine x=2x = 2 apsisli noktasından çizilen normal doğrusu çakışıktır.

Buna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

Answer: 3

Answer

Aranan a⋅ba \cdot b çarpımının değeri 3 olarak bulunur.
Verilen iki doğrunun çakışık olması, eğimlerinin ve y-eksenini kestikleri noktaların aynı olmasını gerektirir. Eğimlerin eşitliğinden 2−a=−1/b2 - a = -1/b elde edilir. y-kesim noktalarının eşitliğinden ise 2b−3+2/b=12b - 3 + 2/b = 1 denklemi çözülerek b=1b=1 bulunur. Bu değer eğim eşitliğinde yerine yazıldığında a=3a=3 bulunur ve çarpımları 3 olur.

Step-by-Step Solution

1
f(x)f(x) fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki teğet denklemini elde etmek.
y=(2−a)x+1y = (2 - a)x + 1 doğrusu.
Teğet doğrusunun denklemi y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) formülü kullanılarak bulunur.
2
g(x)g(x) fonksiyonunun x=2x = 2 noktasındaki normal denklemini elde etmek.
y=−1bx+(2b−3+2b)y = -\frac{1}{b}x + \left(2b - 3 + \frac{2}{b}\right) doğrusu.
Normal doğrusunun eğimi, teğet doğrusunun eğiminin çarpmaya göre tersinin ters işaretlisidir (mn=−1/mtm_n = -1 / m_t).
3
Doğruların çakışık olması şartını kullanarak denklem sistemini çözmek.
a=3a = 3 ve b=1b = 1 değerleri.
İki doğrunun çakışık olmas�� için eğimleri ve sabit terimleri (y-kesim noktaları) eşit olmalıdır.
4
a⋅ba \cdot b çarpımını hesaplamak.
3
Soru kökünde istenen ifade a⋅ba \cdot b çarpımıdır.

Key Concept

Bir eğrinin teğet ve normal doğrularının denklemlerinin türev yardımıyla bulunması ve doğruların analitik incelenmesi.

Alternative Method

Teğet ve normal doğrularının çakışık olması, aslında her iki doğrunun da aynı doğruyu temsil ettiği anlamına gelir. Bu doğrunun y=mx+ny = mx + n formundaki gösterimi düşünüldüğünde, f′(1)=mf'(1) = m ve −1/g′(2)=m-1/g'(2) = m eşitliği kurulabilir. Aynı zamanda, doğrunun üzerindeki teğet noktası (1,f(1))(1, f(1)) ve normal noktası (2,g(2))(2, g(2)) bu doğrunun denklemini sağlamalıdır. Buradan hareketle eğim formülünden m=g(2)−f(1)2−1m = \frac{g(2) - f(1)}{2 - 1} yazılarak da çözüme ulaşılabilir.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

More questions from this topic