Sembolik mantıkta doğruluk tablosu; önermelerin tutarlılığını, geçerliliğini, eşdeğerliğin… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Sembolik mantıkta doğruluk tablosu; önermelerin tutarlılığını, geçerliliğini, eşdeğerliğini ve bu önermelerle kurulan çıkarımların geçerliliğini denetlemek amacıyla kullanılır.

Aşağıdaki doğruluk tablosunda $p$ ve $q$ basit önermeleriyle kurulan bazı bileşik önermelerin doğruluk değerleri verilmiş, ancak bazı hücreler Roma rakamlarıyla ( $I$ , $II$ , $III$ ve $IV$ ) bo�� bırakılmıştır:

$p$	$q$	$\sim p$	$q \wedge \sim p$	$F_1: p \rightarrow (q \wedge \sim p)$	$F_2: \sim (p \vee q)$	$F_3: \sim p \leftrightarrow q$
D	D	Y	$I$	Y	Y	$IV$
D	Y	Y	Y	Y	Y	D
Y	D	D	D	$II$	Y	D
Y	Y	D	Y	D	$III$	Y

Bu tablo ve doğruluk tablosuyla denetleme kuralları göz önünde bulundurulduğunda;

I. $I$ ve $IV$ harflerinin yerine "Y", $II$ ve $III$ harflerinin yerine "D" doğruluk değeri yazılmalıdır.
II. $F_1$ ve $F_3$ önermeleri birlikte tutarlıdır fakat eşdeğer değildir.
III. $F_2$ önermesi kendi başına hem tutarlı hem de geçerli bir önermedir.
IV. $F_2$ önermesinin öncül, $F_1$ önermesinin ise sonuç olduğu bir çıkarım geçerlidir.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

A
I ve II
B
I ve III
C
II ve IV
I, II ve IVAnswer
E
I, III ve IV

Answer

I, II ve IV ifadelerinin doğru olduğunu belirten seçenek doğrudur.

Doğruluk tablosunda hesaplanan

I

(Y),

II

(D),

III

(D) ve

IV

(Y) değerleri birinci ifadenin doğruluğunu kanıtlar. Birinci ve üçüncü önermeler 3. satırda birlikte doğru (D) değerini aldıkları için birlikte tutarlıdır, ancak 2. ve 4. satırlarda farklı doğruluk değerlerine sahip olduklarından eşdeğer değildirler (ikinci ifade doğrudur). İkinci önerme sadece bir satırda doğru değeri aldığından tutarlıdır fakat tüm satırlarda doğru değerini almadığı için geçerli değildir (üçüncü ifade yanlıştır). İkinci önermenin doğru olduğu tek satır olan 4. satırda birinci önerme de doğru değerini aldığı için bu önermelerle kurulan çıkarım geçerlidir (dördüncü ifade doğrudur). Dolayısıyla doğru olan ifadeler bir, iki ve dördüncü ifadelerdir.

Step-by-Step Solution

Tablodaki Roma rakamlarıyla gösterilen boşlukların doğruluk değerlerini hesaplayın.

I

konumu için:

p=D

q=D

iken

\sim p=Y

olur. Bu durumda

q \wedge \sim p \equiv D \wedge Y \equiv Y

bulunur.

II

konumu için:

p=Y

q=D

iken

q \wedge \sim p \equiv D \wedge D \equiv D

olur. Bu durumda

p \rightarrow (q \wedge \sim p) \equiv Y \rightarrow D \equiv D

bulunur.

III

konumu için:

p=Y

q=Y

iken

p \vee q \equiv Y \vee Y \equiv Y

olur. Buradan

\sim (p \vee q) \equiv \sim Y \equiv D

bulunur.

IV

konumu için:

p=D

q=D

iken

\sim p=Y

olur. Buradan

\sim p \leftrightarrow q \equiv Y \leftrightarrow D \equiv Y

bulunur. Bu durumda I. ifade doğrudur.

Soruda verilen önermelerin özelliklerini ve çıkarım geçerliliğini denetleyebilmek için öncelikle tablodaki eksik doğruluk değerlerinin doğru bir şekilde saptanması gerekir.

Birinci ve üçüncü önermelerin birlikte tutarlılık ve eşdeğerlik durumunu denetleyin.

Birinci önerme (

F_1

) ile üçüncü önermenin (

F_3

) doğruluk sütunları incelendiğinde, her iki önermenin de 3. satırda (p=Y, q=D durumunda) aynı anda "D" değerini aldığı görülür. Dolayısıyla bu iki önerme birlikte tutarlıdır. Ancak 2. satırda birinci önerme "Y" değerini alırken üçüncü önerme "D" değerini almaktadır. Tüm satırlardaki doğruluk değerleri özdeş olmadığından bu önermeler eşdeğer değildir. Bu durumda II. ifade doğrudur.

Birlikte tutarlılık için en az bir satırda ortak "D" değeri aranırken, eşdeğerlik için tüm satırlardaki doğruluk değerlerinin karşılıklı olarak aynı olması gerekir.

İkinci önermenin tutarlılık ve geçerlilik durumunu inceleyin.

İkinci önermenin (

F_2

) doğruluk değerleri yukarıdan aşağıya sırasıyla Y, Y, Y, D şeklindedir. Önerme en az bir satırda "D" değeri alabildiği için tutarlıdır. Ancak tüm satırlarda "D" değeri alamadığı (1, 2 ve 3. satırlarda "Y" aldığı) için geçerli değildir (geçersizdir). Bu durumda III. ifade yanlıştır.

Bir önermenin geçerli kabul edilebilmesi için doğruluk tablosundaki tüm satırlarda "D" (Doğru) değerini alması zorunludur.

İkinci önermenin öncül, birinci önermenin sonuç olduğu çıkarımın geçerliliğini denetleyin.

Çıkarımın geçerliliği kuralına göre öncülün doğru ("D") olduğu her satırda sonucun da doğru ("D") olması gerekir. Öncül konumundaki ikinci önermenin (

F_2

) doğru olduğu tek satır 4. satırdır. Bu satırda sonuç konumundaki birinci önerme (

F_1

) de "D" değerini almıştır. Öncülün doğru, sonucun yanlış olduğu hiçbir satır bulunmadığından çıkarım geçerlidir. Bu durumda IV. ifade doğrudur.

Bir çıkarımın geçersiz olması için öncüllerin doğru iken sonucun yanlış olduğu en az bir satırın bulunması gerekir; böyle bir satır yoksa çıkarım geçerlidir.

Key Concept

Doğruluk tablosunda tutarlılık, geçerlilik, eşdeğerlik ve çıkarım geçerliliği kurallarının uygulanması.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic