Examkin

Question

Difficulty: HardFonksiyonların Dikey ve Yatay Ötelenmesi

Dik koordinat düzleminde, f(x)=∣x−2∣−3f(x) = |x - 2| - 3 fonksiyonunun grafiği aa birim sola ve bb birim yukarı ötelendiğinde g(x)=∣x+1∣+2g(x) = |x + 1| + 2 fonksiyonunun grafiği elde ediliyor.

Buna göre, h(x)=f(x−b)−ah(x) = f(x - b) - a fonksiyonunun grafiği ile xx ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

  1. A
    9
  2. B
    16
  3. C
    25
  4. 36Answer
  5. E
    64

Answer

36
Doğru cevap 36 birimkaredir. Verilen f(x)=∣x−2∣−3f(x) = |x - 2| - 3 fonksiyonunun tepe noktası (2,−3)(2, -3) olup, g(x)=∣x+1∣+2g(x) = |x + 1| + 2 fonksiyonunun tepe noktası (−1,2)(-1, 2)'dir. Apsisteki değişim 33 birim sola ötelemeyi (a=3a = 3), ordinattaki değişim ise 55 birim yukarı ötelemeyi (b=5b = 5) gösterir. Bu değerler h(x)=f(x−b)−ah(x) = f(x - b) - a ifadesinde yazıldığında h(x)=∣x−7∣−6h(x) = |x - 7| - 6 elde edilir. Bu fonksiyonun xx eksenini kestiği noktalar x=1x = 1 ve x=13x = 13 olup taban uzunluğu 12 birim, yüksekliği ise 6 birimdir. Buradan alan 36 birimkare olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
f(x) ve g(x) fonksiyonlarının köşe noktalarını belirleyerek a ve b öteleme değerlerini bulma.
f(x)=∣x−2∣−3f(x) = |x - 2| - 3 fonksiyonunun köşe noktası (2,−3)(2, -3)'tür. g(x)=∣x+1∣+2g(x) = |x + 1| + 2 fonksiyonunun köşe noktası (−1,2)(-1, 2)'dir. Grafiğin 33 birim sola ötelenmesiyle apsis 22'den −1-1'e düşer (a=3a = 3), 55 birim yukarı ötelenmesiyle ordinat −3-3'ten 22'ye çıkar (b=5b = 5).
Fonksiyonların dikey ve yatay öteleme miktarlarını tespit etmek için.
2
h(x)=f(x−b)−ah(x) = f(x - b) - a fonksiyonunun denklemini yazma.
a=3a = 3 and b=5b = 5 değerleri yerine yazıldığında, h(x)=f(x−5)−3h(x) = f(x - 5) - 3 elde edilir. Buradan h(x)=∣(x−5)−2∣−3−3=∣x−7∣−6h(x) = |(x - 5) - 2| - 3 - 3 = |x - 7| - 6 bulunur.
Alanı hesaplanacak olan yeni fonksiyonun kuralını oluşturmak için.
3
h(x)h(x) fonksiyonunun grafiğinin xx eksenini kestiği noktaları ve tepe noktasını bulma.
h(x)=0  ⟹  ∣x−7∣−6=0  ⟹  ∣x−7∣=6h(x) = 0 \implies |x - 7| - 6 = 0 \implies |x - 7| = 6 olur. Buradan x1=1x_1 = 1 ve x2=13x_2 = 13 bulunur. Fonksiyonun köşe noktası (7,−6)(7, -6)'dır.
Grafik ile eksen arasında kalan üçgensel bölgenin tabanını ve yüksekliğini belirlemek için.
4
Oluşan üçgensel bölgenin alanını hesaplama.
Üçgenin tabanı xx ekseni üzerinde [1,13][1, 13] aralığında olup uzunluğu 13−1=1213 - 1 = 12 birimdir. Yüksekliği ise köşe noktasının ordinatının mutlak değeri olan ∣−6∣=6|-6| = 6 birimdir. Alan =12×62=36= \frac{12 \times 6}{2} = 36 birimkaredir.
İstenen sınırlı bölgenin alanını bulmak için.

Key Concept

Fonksiyonların yatay ve dikey ötelenmesi kurallarının koordinat düzleminde uygulanması ve mutlak değer fonksiyonunun geometrik yorumu.
Rate this question

Topics

Fonksiyonların Dikey ve Yatay Ötelenmesi

More questions from this topic