Examkin

Question

Difficulty: HardKombinasyon

Tanım kümesi A={1,2,3,4,5}A = \{1, 2, 3, 4, 5\} ve değer kümesi B={1,2,3,4,5,6,7}B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} olan f:A→Bf: A \rightarrow B fonksiyonları tanımlanıyor.

Buna göre,
f(1)<f(2)<f(3)f(1) < f(2) < f(3)
ve
f(3)>f(4)>f(5)f(3) > f(4) > f(5)
koşullarını aynı anda sağlayan kaç farklı ff fonksiyonu tanımlanabilir?
  1. A
    70
  2. B
    126
  3. 371Answer
  4. D
    811
  5. E
    21

Answer

Koşulları sağlayan toplam 371 farklı fonksiyon tanımlanabilir.
Koşulları sağlayan fonksiyon sayısını bulmak için tepe noktası olan f(3)f(3) değeri kk olarak belirlenir. f(3)f(3) değerinin solundaki iki eleman (f(1),f(2)f(1), f(2)) ve sağındaki iki eleman (f(4),f(5)f(4), f(5)) için kk'den küçük olan elemanlar arasından bağımsız olarak ikişer eleman seçilir. Her bir k∈{3,4,5,6,7}k \in \{3, 4, 5, 6, 7\} değeri için hesaplanan durumların kareleri toplanarak 371 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
f(3)f(3) değerinin alabileceği değer aralığını belirleme.
f(3)=kf(3) = k olmak üzere k∈{3,4,5,6,7}k \in \{3, 4, 5, 6, 7\} olmalıdır.
f(1)<f(2)<f(3)f(1) < f(2) < f(3) ve f(3)>f(4)>f(5)f(3) > f(4) > f(5) koşullarının sağlanabilmesi için f(3)f(3) elemanından küçük en az ikişer farklı değer seçilebilmelidir. Değer kümesi B={1,2,3,4,5,6,7}B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} olduğundan, f(3)f(3) en az 3, en fazla 7 olabilir.
2
Sabit bir f(3)=kf(3) = k değeri için f(1),f(2)f(1), f(2) ve f(4),f(5)f(4), f(5) değerlerinin seçim sayısını formüle etme.
Her bir f(3)=kf(3) = k durumu için toplam seçim sayısı (k−12)×(k−12)=((k−12))2\binom{k-1}{2} \times \binom{k-1}{2} = \left(\binom{k-1}{2}\right)^2 şeklindedir.
f(1)<f(2)<kf(1) < f(2) < k koşulu için {1,2,…,k−1}\{1, 2, \dots, k-1\} kümesinden 2 farklı eleman kombinasyonla seçilir. Benzer şekilde, k>f(4)>f(5)k > f(4) > f(5) koşulu için de {1,2,…,k−1}\{1, 2, \dots, k-1\} kümesinden 2 farklı eleman seçilir. Bu iki seçim birbirinden bağımsız olduğu için çarpım kuralı uygulanır.
3
Her bir kk değeri için olası durumları hesaplayıp toplama.
1+9+36+100+225=3711 + 9 + 36 + 100 + 225 = 371 farklı fonksiyon tanımlanabilir.
k=3k=3 için (22)2=1\binom{2}{2}^2 = 1, k=4k=4 için (32)2=9\binom{3}{2}^2 = 9, k=5k=5 için (42)2=36\binom{4}{2}^2 = 36, k=6k=6 için (52)2=100\binom{5}{2}^2 = 100, k=7k=7 için (62)2=225\binom{6}{2}^2 = 225 değerleri bulunur ve bu durumlar ayrık olduğundan toplanır.

Key Concept

Kombinasyon (Seçme) ve Sayma İlkeleri
Rate this question

Topics

Kombinasyon

More questions from this topic