Examkin

Kombinasyon

25 questions

All types25Multiple choice13Numeric12
Question 1Question →

Bir hastanenin acil servis ünitesinde görev yapan 4 doktor ve 5 hemşire arasından; en az 1 doktor ve en az 2 hemşirenin yer aldığı 4 kişilik bir acil müdahale ekibi oluşturulacaktır.

Bu çalışanlar arasında bulunan Doktor Ahmet ile Hemşire Canan aynı ekipte birlikte yer almak istemediklerine göre, bu ekip kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Show answer & explanation

Answer: 82

Answer

İstenen koşullara uygun 82 farklı ekip oluşturulabilir.
En az 1 doktor ve en az 2 hemşire koşulunu sağlayan 100 farklı ekip içinden, Doktor Ahmet ve Hemşire Canan'ın birlikte bulunduğu 18 ekip çıkarıldığında geriye kalan 82 ekip istenen koşulların tamamını sağlar.

Step-by-Step Solution

1
En az 1 doktor ve en az 2 hemşireden oluşan 4 kişilik tüm ekiplerin sayısını belirlemek.
4 kişilik ekipteki meslek dağılımı 1 doktor ve 3 hemşire veya 2 doktor ve 2 hemşire olabilir. 1 doktor ve 3 hemşire için (41)×(53)=4×10=40\binom{4}{1} \times \binom{5}{3} = 4 \times 10 = 40 durum; 2 doktor ve 2 hemşire için (42)×(52)=6×10=60\binom{4}{2} \times \binom{5}{2} = 6 \times 10 = 60 durum bulunur. Toplam durum sayısı: 40+60=10040 + 60 = 100 olur.
Genel koşullara uygun başlangıç kümesini oluşturmak için.
2
Doktor Ahmet ile Hemşire Canan'ın birlikte bulunduğu ve koşulları sağlayan ekip sayısını hesaplamak.
Doktor Ahmet ve Hemşire Canan ekibe seçildiğinde, geriye 3 doktor ve 4 hemşire arasından seçilecek 2 kişi kalır. Ekipte en az 1 doktor (Ahmet zaten var) ve en az 2 hemşire (Canan var, en az 1 hemşire daha lazım) olmalıdır. Kalan 2 kişi; 1 doktor ve 1 hemşire ya da 2 hemşire olarak seçilebilir. Bu durumlar (31)×(41)=12\binom{3}{1} \times \binom{4}{1} = 12 ve (42)=6\binom{4}{2} = 6 şeklindedir. Toplamda 18 ekipte ikisi birlikte yer alır.
İstenmeyen durumların sayısını belirlemek için.
3
Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkarmak.
Ahmet ve Canan'ın birlikte bulunmadığı ekip sayısı: 100−18=82100 - 18 = 82 olarak bulunur.
İstenen koşula uyan nihai sonucu bulmak için.

Key Concept

Kombinasyon (Seçme) ve Koşullu Seçim Problemleri
Question 2Question →

Tanım kümesi A={1,2,3,4,5}A = \{1, 2, 3, 4, 5\} ve değer kümesi B={1,2,3,4,5,6,7}B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} olan f:A→Bf: A \rightarrow B fonksiyonları tanımlanıyor.

Buna göre,
f(1)<f(2)<f(3)f(1) < f(2) < f(3)
ve
f(3)>f(4)>f(5)f(3) > f(4) > f(5)
koşullarını aynı anda sağlayan kaç farklı ff fonksiyonu tanımlanabilir?
Show answer & explanation

Answer: 371

Answer

Koşulları sağlayan toplam 371 farklı fonksiyon tanımlanabilir.
Koşulları sağlayan fonksiyon sayısını bulmak için tepe noktası olan f(3)f(3) değeri kk olarak belirlenir. f(3)f(3) değerinin solundaki iki eleman (f(1),f(2)f(1), f(2)) ve sağındaki iki eleman (f(4),f(5)f(4), f(5)) için kk'den küçük olan elemanlar arasından bağımsız olarak ikişer eleman seçilir. Her bir k∈{3,4,5,6,7}k \in \{3, 4, 5, 6, 7\} değeri için hesaplanan durumların kareleri toplanarak 371 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
f(3)f(3) değerinin alabileceği değer aralığını belirleme.
f(3)=kf(3) = k olmak üzere k∈{3,4,5,6,7}k \in \{3, 4, 5, 6, 7\} olmalıdır.
f(1)<f(2)<f(3)f(1) < f(2) < f(3) ve f(3)>f(4)>f(5)f(3) > f(4) > f(5) koşullarının sağlanabilmesi için f(3)f(3) elemanından küçük en az ikişer farklı değer seçilebilmelidir. Değer kümesi B={1,2,3,4,5,6,7}B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} olduğundan, f(3)f(3) en az 3, en fazla 7 olabilir.
2
Sabit bir f(3)=kf(3) = k değeri için f(1),f(2)f(1), f(2) ve f(4),f(5)f(4), f(5) değerlerinin seçim sayısını formüle etme.
Her bir f(3)=kf(3) = k durumu için toplam seçim sayısı (k−12)×(k−12)=((k−12))2\binom{k-1}{2} \times \binom{k-1}{2} = \left(\binom{k-1}{2}\right)^2 şeklindedir.
f(1)<f(2)<kf(1) < f(2) < k koşulu için {1,2,…,k−1}\{1, 2, \dots, k-1\} kümesinden 2 farklı eleman kombinasyonla seçilir. Benzer şekilde, k>f(4)>f(5)k > f(4) > f(5) koşulu için de {1,2,…,k−1}\{1, 2, \dots, k-1\} kümesinden 2 farklı eleman seçilir. Bu iki seçim birbirinden bağımsız olduğu için çarpım kuralı uygulanır.
3
Her bir kk değeri için olası durumları hesaplayıp toplama.
1+9+36+100+225=3711 + 9 + 36 + 100 + 225 = 371 farklı fonksiyon tanımlanabilir.
k=3k=3 için (22)2=1\binom{2}{2}^2 = 1, k=4k=4 için (32)2=9\binom{3}{2}^2 = 9, k=5k=5 için (42)2=36\binom{4}{2}^2 = 36, k=6k=6 için (52)2=100\binom{5}{2}^2 = 100, k=7k=7 için (62)2=225\binom{6}{2}^2 = 225 değerleri bulunur ve bu durumlar ayrık olduğundan toplanır.

Key Concept

Kombinasyon (Seçme) ve Sayma İlkeleri
Question 3Question →

Bir şirkette 6 kadın ve 6 erkek çalışan arasından 5 kişilik bir proje ekibi kurulacaktır. Kurulacak bu ekip ile ilgili aşağıdaki koşullar bilinmektedir:

* Ekipte en az 2 kadın ve en az 2 erkek çalışan bulunmalıdır.
* Erkek çalışanlardan Ahmet ve Mehmet aynı ekipte birlikte yer almak istememektedir.
* Kadın çalışanlardan Ayşe ve Fatma ise bu ekipte ya birlikte yer alacak ya da ikisi de yer almayacaktır.

Buna göre, bu proje ekibi kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Show answer & explanation

Answer: 224

Answer

Bu proje ekibi 224 farklı şekilde oluşturulabilir.
Doğru cevapta, en az ikişer kadın ve erkek çalışan bulunması koşulu altında oluşabilecek iki farklı cinsiyet dağılımı (3 kadın - 2 erkek ve 2 kadın - 3 erkek) ayrı ayrı incelenmiştir. Her iki durumda da Ayşe ve Fatma'nın ya birlikte yer alması ya da ikisinin de yer almaması koşulu ile Ahmet ve Mehmet'in birlikte bulunmama koşulları kombinasyon formülleriyle hatasız uygulanmıştır. Bu iki durumun toplamı olan 224 sonucu elde edilmiştir.

Step-by-Step Solution

1
Ekipteki cinsiyet dağılımı seçeneklerini belirleme
5 kişilik ekipte en az 2 kadın ve en az 2 erkek bulunması gerektiğinden, dağılım ya 3 kadın ve 2 erkek ya da 2 kadın ve 3 erkek olmalıdır.
Toplam kişi sayısı 5 olup alt sınır kısıtlamaları sadece bu iki durumu mümkün kılmaktadır.
2
3 kadın ve 2 erkekten oluşan ekipleri hesaplama
Ayşe ve Fatma'nın birlikte yer alması durumunda (41)=4\binom{4}{1} = 4 farklı kadın grubu; yer almaması durumunda ise (43)=4\binom{4}{3} = 4 farklı kadın grubu seçilebilir. Ahmet ve Mehmet'in birlikte yer almadığı erkek grubu sayısı (62)−(40)=15−1=14\binom{6}{2} - \binom{4}{0} = 15 - 1 = 14 tanedir. Toplamda (4+4)×14=112(4 + 4) \times 14 = 112 farklı ekip oluşturulur.
Kadın ve erkek seçimleri bağımsız olaylar olduğundan durum sayıları çarpılır.
3
2 kadın ve 3 erkekten oluşan ekipleri hesaplama
Ayşe ve Fatma'nın birlikte yer alması durumunda (40)=1\binom{4}{0} = 1 farklı kadın grubu; yer almaması durumunda ise (42)=6\binom{4}{2} = 6 farklı kadın grubu seçilebilir. Ahmet ve Mehmet'in birlikte yer almadığı erkek grubu sayısı (63)−(41)=20−4=16\binom{6}{3} - \binom{4}{1} = 20 - 4 = 16 tanedir. Toplamda (1+6)×16=112(1 + 6) \times 16 = 112 farklı ekip oluşturulur.
İkinci cinsiyet dağılımı senaryosunun kısıtlamalar altındaki kombinasyon hesabı bu şekilde yapılır.
4
Elde edilen durum sayılarını toplama
112+112=224112 + 112 = 224 farklı ekip oluşturulabilir.
İki ana cinsiyet dağılım senaryosu birbirinin alternatifi ve ayrık durumlar olduğu için sonuçlar toplanır.

Key Concept

Kombinasyon hesaplamalarında çoklu koşulların ayrık durumlar halinde incelenmesi ve seçme işlemlerinin yapılması.
Estimated Time:3m 0s
Question 4Question →

nn bir doğal sayı olmak üzere,

(nn−2)+(n+1n−1)=36\binom{n}{n-2} + \binom{n+1}{n-1} = 36

eşitliğini sağlayan nn değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Verilen eşitliği sağlayan nn doğal sayısı 6'dır.
Simetri özelliği ile sadeleştirilen kombinasyon ifadeleri açıldığında n2=36n^2 = 36 denklemine ulaşılır. Buradan nn değeri 6 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Kombinasyonun simetri özelliğini uygulama
(n2)+(n+12)=36\binom{n}{2} + \binom{n+1}{2} = 36 denklemi elde edilir.
(xy)=(xx−y)\binom{x}{y} = \binom{x}{x-y} özelliği kullanılarak (nn−2)=(n2)\binom{n}{n-2} = \binom{n}{2} ve (n+1n−1)=(n+12)\binom{n+1}{n-1} = \binom{n+1}{2} şeklinde sadeleştirme yapılır.
2
Kombinasyon formüllerini yerine yazma
n(n−1)2+(n+1)n2=36\frac{n(n-1)}{2} + \frac{(n+1)n}{2} = 36 ifadesi elde edilir.
(x2)=x(x−1)2\binom{x}{2} = \frac{x(x-1)}{2} açılımı her iki terim için de uygulanır.
3
Cebirsel sadeleştirme yapma ve denklemi çözme
n2=36n^2 = 36 ve buradan n=6n = 6 elde edilir.
Pay kısımları açılıp toplandığında n2−n+n2+n=2n2n^2 - n + n^2 + n = 2n^2 olur. 22 ile sadeleşince n2=36n^2 = 36 kalır. nn doğal sayı olduğundan pozitif kök olan 66 seçilir.

Key Concept

Kombinasyonun özellikleri ve formül uygulamaları
Estimated Time:1m 30s
Question 5Question →

Bir spor kulübünde bulunan 7 sporcu arasından, bir turnuvaya katılmak üzere 5 kişilik bir takım seçilecektir.

Buna göre, bu takım kaç farklı şekilde seçilebilir?

Show answer & explanation

Answer: 21

Answer

Takım 21 farklı şekilde seçilebilir.
Seçilen sporcuların kendi aralarında sıralanması önemsiz olduğundan, bu bir kombinasyon problemidir. 7 elemanlı bir kümeden 5 elemanlı alt kümelerin sayısı C(7,5)=C(7,2)=21C(7, 5) = C(7, 2) = 21 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Seçim problemini matematiksel olarak ifade etmek
7 sporcu arasından sırası önemsiz olacak şekilde 5 sporcu seçileceğinden kombinasyon kullanılmalıdır. Bu durum C(7,5)C(7, 5) ile gösterilir.
Gruptaki sporcuların kendi aralarındaki dizilişi veya rolleri belirtilmemiştir; sadece kimlerin gruba dahil olduğu önemlidir.
2
C(7,5)C(7, 5) kombinasyon değerini hesaplamak
C(7,5)=C(7,7−5)=C(7,2)C(7, 5) = C(7, 7-5) = C(7, 2) özelliğinden yararlanılarak işlem kolaylaştırılır:

C(7,2)=7×62×1=21C(7, 2) = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21
Kombinasyon hesaplama formülü C(n,r)=n!r!(n−r)!C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!} şeklindedir ve C(n,r)=C(n,n−r)C(n, r) = C(n, n-r) eşitliği hesaplamayı kolaylaştırır.

Key Concept

Kombinasyon (Seçme) Hesaplaması
Estimated Time:45s
Question 6Question →

Bir okulun basketbol takımında bulunan 66 sporcu arasından 44 kişilik bir grup seçilecektir. Bu sporcular arasında yer alan takım kaptanı Can'ın seçilecek grupta kesinlikle bulunması gerektiğine göre, bu grup kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Seçilecek grupta takım kaptanı Can kesinlikle bulunacağından, geriye kalan 5 sporcu arasından 3 sporcu seçilmelidir. Bu seçim (53)=10\binom{5}{3} = 10 farklı şekilde yapılır.
Grupta Can kesinlikle yer alacağı için geriye kalan 5 kişiden 3 kişinin seçilmesi gerekir. Bu da kombinasyon formülü ile hesaplandığında 10 olur.

Step-by-Step Solution

1
Grupta kesinlikle bulunacak olan takım kaptanı Can'ı gruba yerleştirmek.
Seçilmesi gereken sporcu sayısı 4−1=34 - 1 = 3 olur. Can dışındaki aday sayısı ise 6−1=56 - 1 = 5 olur.
Can zaten seçildiği için hem grup kontenjanı hem de aday sayısı 11 azalır.
2
Geriye kalan 55 aday arasından 33 kişiyi kombinasyon yöntemiyle seçmek.
Seçim sayısı (53)=10\binom{5}{3} = 10 olarak bulunur.
Sıralama önemli olmayıp sadece seçim yapıldığı için kombinasyon formülü uygulanır.

Key Concept

Koşullu kombinasyon (belirli elemanın bulunması durumu)
Estimated Time:1m 0s
Question 7Question →

Bir yazılım şirketinde çalışan 4 yazılımcı ve 5 tasarımcı arasından 4 kişilik bir proje ekibi kurulacaktır. Kurulacak ekip ile ilgili aşağıdaki koşullar bilinmektedir:

* Ekipte en az 2 yazılımcı yer almalıdır.
* Yazılımcılardan Can ile tasarımcılardan Deniz aynı ekipte birlikte yer almak istememektedir.

Buna göre, bu proje ekibi kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Show answer & explanation

Answer: 66

Answer

Proje ekibi 66 farklı şekilde oluşturulabilir.
Doğru cevap 66'dır. En az 2 yazılımcının yer aldığı tüm ekiplerin sayısı 81'dir. Bu ekiplerden Can ve Deniz'in birlikte yer aldığı 15 ekip çıkarıldığında, koşulları sağlayan 66 farklı ekip oluşturulabileceği görülür.

Step-by-Step Solution

1
En az 2 yazılımcının bulunduğu tüm 4 kişilik ekip kombinasyonlarını hesaplayalım.
Toplam durum sayısı 60+20+1=8160 + 20 + 1 = 81 olur.
Ekipte en az 2 yazılımcı olması gerekti��inden; 2 yazılımcı ve 2 tasarımcı için (42)⋅(52)=6⋅10=60\binom{4}{2} \cdot \binom{5}{2} = 6 \cdot 10 = 60 durum, 3 yazılımcı ve 1 tasarımcı için (43)⋅(51)=4⋅5=20\binom{4}{3} \cdot \binom{5}{1} = 4 \cdot 5 = 20 durum veya 4 yazılımcı için (44)⋅(50)=1⋅1=1\binom{4}{4} \cdot \binom{5}{0} = 1 \cdot 1 = 1 durum oluşabilir.
2
Can ve Deniz'in aynı ekipte birlikte bulunduğu ve en az 2 yazılımcı barındıran durumları hesaplayalım.
İstenmeyen durum sayısı 12+3=1512 + 3 = 15 olur.
Can ve Deniz ekipte kesinlikle yer alacağından kalan 2 kişi seçilmelidir. Can zaten 1 yazılımcı olduğundan, ekibin en az 2 yazılımcı barındırması için kalan 2 kişiden en az 1'i yazılımcı olmalıdır. Bu durumlar; Can hariç 3 yazılımcı ve Deniz hariç 4 tasarımcı arasından 1 yazılımcı ve 1 tasarımcı seçilmesi (31)⋅(41)=3⋅4=12\binom{3}{1} \cdot \binom{4}{1} = 3 \cdot 4 = 12 veya 2 yazılımcı seçilmesi (32)⋅(40)=3⋅1=3\binom{3}{2} \cdot \binom{4}{0} = 3 \cdot 1 = 3 şeklindedir.
3
Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkararak sonucu bulalım.
81−15=6681 - 15 = 66 farklı şekilde ekip kurulabilir.
Can ve Deniz'in birlikte bulunmadığı geçerli durumların sayısını bulmak için tüm geçerli durumlardan onların birlikte olduğu durumları çıkarmamız gerekir.

Key Concept

Koşullu Kombinasyon ve Tüm Durumlar Yöntemi
Estimated Time:2m 0s
Question 8Question →

Bir okulun düzenleyeceği bilim şenliğine katılmak üzere 4 öğretmen ve 6 öğrenciden oluşan bir gruptan 4 kişilik bir proje ekibi seçilecektir.

Seçilecek ekipte en az 1 ��ğretmen ve en az 1 öğrenci bulunması zorunludur. Ancak, öğretmenlerden Ahmet Bey ve öğrencilerden Burak arasında bir anlaşmazlık olduğu için ikisi aynı ekipte birlikte yer almak istememektedir.

Buna göre, bu proje ekibi kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Show answer & explanation

Answer: 166

Answer

Proje ekibi 166 farklı şekilde oluşturulabilir.
Ekipte en az bir öğretmen ve bir öğrenci bulunma kuralına göre oluşturulabilecek tüm ekiplerin sayısı 80+90+24=19480 + 90 + 24 = 194 olarak bulunur. Ahmet Bey ve Burak'ın birlikte bulunduğu ve bu kuralı sağlayan ekiplerin sayısı ise kalan 8 kişiden 2 kişinin seçilmesiyle (82)=28\binom{8}{2} = 28 olarak hesaplanır. İstenmeyen durumlar tüm durumlardan çıkarıldığında geriye 166 farklı şekilde ekip oluşturulabileceği görülür.

Step-by-Step Solution

1
En az 1 öğretmen ve en az 1 öğrenci bulunması koşuluna uygun tüm 4 kişilik ekiplerin sayısını hesaplayalım.
Toplam durum sayısı 194'tür.
4 öğretmen ve 6 öğrenci arasından seçilecek 4 kişilik ekipte öğretmen sayısı tt ve öğrenci sayısı o¨ö olmak üzere (t≥1t \ge 1 ve o¨≥1ö \ge 1):
- 1 öğretmen, 3 öğrenci: (41)×(63)=4×20=80\binom{4}{1} \times \binom{6}{3} = 4 \times 20 = 80
- 2 öğretmen, 2 öğrenci: (42)×(62)=6×15=90\binom{4}{2} \times \binom{6}{2} = 6 \times 15 = 90
- 3 öğretmen, 1 öğrenci: (43)×(61)=4×6=24\binom{4}{3} \times \binom{6}{1} = 4 \times 6 = 24
Toplam: 80+90+24=19480 + 90 + 24 = 194 durum bulunur.
2
Ahmet Bey ve Burak'ın aynı ekipte birlikte yer aldığı ve aynı zamanda 'en az 1 öğretmen ve 1 öğrenci' koşuluna uyan durumların sayısını hesaplayalım.
Birlikte bulundukları durum sayısı 28'dir.
Ahmet Bey (öğretmen) ve Burak (öğrenci) ekibe dahil edildiğinde, ekipte en az 1 öğretmen ve 1 öğrenci bulunma koşulu kendiliğinden sağlanır. Kalan 2 kişilik yer için geriye kalan 3 öğretmen ve 5 öğrenci (toplam 8 kişi) arasından seçim yapılmalıdır: (82)=28\binom{8}{2} = 28 durum.
3
Toplam geçerli durum sayısından istenmeyen durum sayısını çıkartarak sonuca ulaşalım.
İstenen durum sayısı 194−28=166194 - 28 = 166 olur.
Ahmet Bey ve Burak'ın birlikte bulunmadığı, koşula uygun ekiplerin sayısını bulmak için tüm durumlardan ikisinin bir arada olduğu durumları çıkarmamız gerekir.

Key Concept

Kısıtlar altında kombinasyon (seçme) hesaplamaları
Question 9Question →

Bir öğrenci, bir kütüphanede sergilenen ve tamamı birbirinden farklı olan 66 roman arasından okumak üzere 22 roman seçecektir.

Buna göre, bu öğrenci bu seçimi kaç farklı şekilde yapabilir?

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

15 farklı şekilde yapabilir
Seçilen romanların sırası önemli olmayıp sadece gruplandırma (seçim) yapıldığı için kombinasyon hesabı kullanılır. 6 elemanlı bir kümeden 2 elemanlı alt kümelerin sayısı C(6, 2) = 15 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Soruda sıranın önemli olup olmadığını belirleme
Romanların seçilme sırası önemli değildir, sadece hangi romanların seçildiği önemlidir. Bu nedenle kombinasyon kullanılmalıdır.
Kombinasyon (seçme), permütasyondan (sıralama) farklı olarak sıraya bakmaksızın alt küme oluşturma işlemidir.
2
Kombinasyon formülünü uygulama
C(6, 2) = \frac{6!}{2! \times (6 - 2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15
6 farklı eleman arasından 2 eleman seçmek için C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!} formülü kullanılır.

Key Concept

Kombinasyon (Seçme) kavramı ve formülü

Alternative Method

Kombinasyon formülü yerine, seçilecek elemanları tek tek yazarak da kontrol edebilirsiniz. Örneğin elemanlar A, B, C, D, E, F olsun. Seçilebilecek ikililer: AB, AC, AD, AE, AF, BC, BD, BE, BF, CD, CE, CF, DE, DF, EF olmak üzere toplam 15 tanedir.
Estimated Time:45s
Question 10Question →

A={1,2,3,4,5,6,7,8}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}

kümesinin 44 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde, elemanların çarpımı 55 ile tam bölünürken 88 ile tam bölünmez?

Show answer & explanation

Answer: 13

Answer

Kümenin elemanlarının çarpımının 5 ile bölünüp 8 ile bölünmediği 4 elemanlı alt küme sayısı 13'tür.
Çarpımın 5 ile bölünebilmesi için kümede mutlaka 5 bulunmalıdır. 8 ile bölünmemesi için 8 kümede olmamalı ve kalan çift sayılardan 4 ile (2 veya 6) bir arada seçilmemelidir. Geriye kalan 6 elemandan seçilecek 3 eleman için (63)=20\binom{6}{3} = 20 durum vardır. Bu durumlardan 8 ile bölünen {2,4,x}\{2, 4, x\} (4 durum) ve {4,6,y}\{4, 6, y\} (3 durum) olmak üzere 7 durum çıkarıldığında geriye 13 adet küme kalır.

Step-by-Step Solution

1
Koşullara göre seçilecek eleman havuzunu belirleme
Seçilen alt kümede 5 elemanı bulunmalı, 8 elemanı ise bulunmamalıdır. Seçim yapılacak elemanlar {1,2,3,4,6,7}\{1, 2, 3, 4, 6, 7\} kümesidir.
Çarpımın 5 ile tam bölünmesi için asal çarpan olarak 5'in bulunması zorunludur. 8 ile tam bölünmemesi için ise doğrudan 8 çarpanı bulunmamalıdır.
2
Kalan elemanlarla yapılabilecek tüm 3 elemanlı seçimlerin sayısını bulma
Toplam olası seçim say��sı (63)=20\binom{6}{3} = 20 adettir.
4 elemanlı kümenin 1 elemanı (5 sayısı) sabitlendiği için kalan 6 elemandan 3 eleman seçilerek kombinasyon oluşturulur.
3
Çarpımı 8'in katı yapan istenmeyen durumları hesaplama
İstenmeyen durum sayısı 4+3=74 + 3 = 7 adettir.
Seçilen elemanlar arasında 4 ile 2'nin veya 4 ile 6'nın bir arada bulunması çarpımı 8'e tam bölünür hale getirir.
4
İstenen durum sayısını hesaplama
İstenen alt küme sayısı 20−7=1320 - 7 = 13 adettir.
Tüm kombinasyonlardan istenmeyen durumların çıkarılması yöntemi kullanılmıştır.

Key Concept

Kombinasyon hesabı ile koşullu alt küme seçimi ve tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkarma prensibi.

Alternative Method

İkinci bir yol olarak, {1,2,3,4,6,7}\{1, 2, 3, 4, 6, 7\} kümesinden seçilecek 3 elemanı çift sayıların sayısına göre gruplandırarak seçebiliriz:
- Hiç çift sayı seçilmemesi (hepsi {1,3,7}\{1, 3, 7\} arasından): (33)=1\binom{3}{3} = 1 durum.
- Sadece bir çift sayı seçilmesi (2, 4 veya 6'dan biri): (31)×(32)=3×3=9\binom{3}{1} \times \binom{3}{2} = 3 \times 3 = 9 durum.
- İki çift sayı seçilmesi (çarpımın 8'e bölünmemesi için sadece {2,6}\{2, 6\} çifti seçilebilir): (11)×(31)=3\binom{1}{1} \times \binom{3}{1} = 3 durum.
Toplam durum: 1+9+3=131 + 9 + 3 = 13 bulunur.
Estimated Time:2m 0s
Question 11Question →
A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} kümesinin 44 elemanlı alt kümelerinden kaç tanesinin elemanları toplamı tek sayıdır ve en az bir asal sayı içerir?
Show answer & explanation

Answer: 92

Answer

Koşulları sağlayan alt küme sayısı 92'dir.
Toplamı tek olan tüm 4 elemanlı alt kümelerin sayısı (100) ile hiç asal sayı barındırmayan ve toplamı tek olan alt kümelerin sayısı (8) arasındaki fark alınarak en az bir asal içeren ve toplamı tek olan küme sayısı 92 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Kümenin elemanlarını özelliklerine göre ayırın.
Asal sayılar: {2,3,5,7}\{2, 3, 5, 7\} (4 adet)
Asal olmayan sayılar: {1,4,6,8,9,10}\{1, 4, 6, 8, 9, 10\} (6 adet)
Tek sayılar: {1,3,5,7,9}\{1, 3, 5, 7, 9\} (5 adet)
Çift sayılar: {2,4,6,8,10}\{2, 4, 6, 8, 10\} (5 adet)
Kombinasyon seçimlerinde teklik-çiftlik ve asallık koşullarını ayrı ayrı uygulayabilmek için.
2
Toplamın tek sayı olma koşulunu analiz edin.
Toplamın tek olması için kümede tek sayıda tek sayı bulunmalıdır. 4 elemanlı küme için bu durumlar: (1 Tek, 3 Çift) veya (3 Tek, 1 Çift) şeklindedir.
Çift sayıda tek sayının toplamı çift, tek sayıda tek sayının toplamı tek olduğundan.
3
Koşulsuz olarak toplamı tek olan tüm 4 elemanlı alt kümelerin sayısını hesaplayın.
- 1 Tek ve 3 Çift seçimi: (51)×(53)=5×10=50\binom{5}{1} \times \binom{5}{3} = 5 \times 10 = 50
- 3 Tek ve 1 Çift seçimi: (53)×(51)=10×5=50\binom{5}{3} \times \binom{5}{1} = 10 \times 5 = 50
Toplam = 50+50=10050 + 50 = 100 durum.
Toplamı tek olan tüm olası durumları bulmak için.
4
Hiç asal sayı içermeyen ve toplamı tek olan alt kümeleri (istenmeyen durumları) hesaplayın.
Asal olmayan tek sayılar: {1,9}\{1, 9\} (2 adet)
Asal olmayan çift sayılar: {4,6,8,10}\{4, 6, 8, 10\} (4 adet)
- 1 Tek (asal olmayan) ve 3 Çift (asal olmayan) seçimi: (21)×(43)=2×4=8\binom{2}{1} \times \binom{4}{3} = 2 \times 4 = 8
- 3 Tek (asal olmayan) ve 1 Çift (asal olmayan) seçimi: (23)×(41)=0\binom{2}{3} \times \binom{4}{1} = 0
Toplam = 8+0=88 + 0 = 8 durum.
Tüm durumlardan bu istenmeyen durumları çıkararak en az bir asal sayı içerenleri bulmak için.
5
İstenen durum sayısını bulmak için çıkarma işlemini yapın.
100−8=92100 - 8 = 92
Tüm toplamı tek olan durumlardan, içinde hiç asal bulunmayan durumları çıkararak en az bir asal sayı içeren durumları bulmak için.

Key Concept

Kombinasyon (seçme) kullanarak belirli özelliklere (teklik/çiftlik, asallık) sahip alt kümelerin sayısını hesaplama.

Alternative Method

Doğrudan çözüm yöntemi: İstenen koşulu sağlayan durumları asal sayıların dağılımına göre gruplayarak toplayabiliriz. 1) Kümede sadece 2 (çift asal) olup tek olan asalların olmadığı durumlar, 2) Kümede tek olan asalların olup 2'nin olmadığı durumlar, 3) Hem 2'nin hem de tek asalların olduğu durumlar ayrı ayrı hesaplanıp toplanarak da 92 sonucuna ulaşılabilir.
Estimated Time:2m 30s
Question 12Question →

Bir bilim insanı, laboratuvarındaki 88 farklı deney tüpünden 33 tanesini seçerek bir deneyde kullanacaktır. Buna göre, bu bilim insanı bu seçim işlemini kaç farklı şekilde yapabilir?

Show answer & explanation

Answer: 56

Answer

8 farklı deney tüpünden 3 tanesi sıraya bakılmaksızın 56 farklı şekilde seçilebilir.
Seçim işlemi sıraya bağlı olmaksızın yapıldığından kombinasyon formülü kullanılır. 8 farklı deney tüpünden 3 tanesi C(8, 3) = 56 farklı şekilde seçilebilir.

Step-by-Step Solution

1
Seçim türünü belirleme
Kombinasyon (seçme) yöntemi kullanılmalıdır.
Tüplerin seçilme sırası önemsizdir.
2
Kombinasyon formülünü uygulama
C(8,3)C(8, 3) değeri hesaplanır.
88 farklı eleman arasından 33 eleman seçilmektedir.
3
Matematiksel işlemi yapma
C(8,3)=8×7×63×2×1=56C(8, 3) = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56
Pay ve payda sadeleştirilerek sonuca ulaşılır.

Key Concept

Kombinasyon
Question 13Question →

Şekilde bir çember üzerinde 5 farklı nokta ve bu çemberi kesmeyen bir dd doğrusu üzerinde 4 farklı nokta işaretlenmiştir. Çember üzerindeki noktaların herhangi ikisinden geçen doğruların hiçbiri dd doğrusu üzerindeki işaretli noktalardan geçmemektedir.

Buna göre, köşeleri bu 9 noktadan seçilen ve en az iki köşesi çember üzerinde olan kaç farklı üçgen çizilebilir?

Show answer & explanation

Answer: 50

Answer

Toplamda 50 farklı üçgen çizilebilir.
İstenen koşula göre çizilecek üçgenlerin en az iki köşesi çember üzerinde olmalıdır. Bu durum iki alt grupta incelenir: Çemberden 2 nokta, dd doğrusundan 1 nokta seçilmesiyle (52)×(41)=40\binom{5}{2} \times \binom{4}{1} = 40 üçgen; veya çemberden 3 nokta seçilmesiyle (53)=10\binom{5}{3} = 10 üçgen elde edilir. Bu iki bağımsız durum toplandığında toplam 50 üçgen bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Birinci durumu (2 köşesi çember üzerinde, 1 köşesi dd doğrusu üzerinde olan üçgenler) hesaplama.
Çember üzerindeki 5 noktadan 2'si (52)=10\binom{5}{2} = 10 farklı şekilde, dd doğrusu üzerindeki 4 noktadan 1'i (41)=4\binom{4}{1} = 4 farklı şekilde seçilir. Bu durumda 10×4=4010 \times 4 = 40 farklı üçgen oluşur.
En az iki köşesi çember üzerinde olması istendiğinden, tam olarak iki köşenin çember üzerinde olduğu durumu belirlemek gerekir.
2
İkinci durumu (3 köşesi de çember üzerinde olan üçgenler) hesaplama.
Çember üzerindeki 5 noktadan 3'ü (53)=10\binom{5}{3} = 10 farklı şekilde seçilir. Bu durumda 10 farklı üçgen oluşur.
En az iki köşesi çember üzerinde koşulu, 3 köşenin de çember üzerinde olması durumunu kapsar.
3
Tüm durumları toplama.
40+10=5040 + 10 = 50 farklı üçgen çizilebilir.
Birbirinden bağımsız bu iki durumun toplamı, istenen koşula uygun tüm üçgenlerin sayısını verir.

Key Concept

Kombinasyon (Seçme) kullanarak geometrik şekiller oluşturma ve koşullu durumları ayrı ayrı inceleme.

Alternative Method

Tüm olası üçgenlerin sayısından, istenmeyen durumların sayısını çıkararak da sonuca ulaşabiliriz. Oluşturulabilecek toplam üçgen sayısı (93)−(43)=80\binom{9}{3} - \binom{4}{3} = 80'dir (çünkü doğrunun üzerindeki 4 noktadan üçgen oluşmaz). İstenmeyen durum ise çemberden 1 nokta ve dd doğrusundan 2 nokta seçilmesidir. Bu durumun sayısı (51)×(42)=5×6=30\binom{5}{1} \times \binom{4}{2} = 5 \times 6 = 30'dur. Tüm durumlardan istenmeyeni çıkardığımızda: 80−30=5080 - 30 = 50 sonucuna ulaşırız.
Estimated Time:2m 0s
Question 14Question →

Bir düzlemde bulunan 66 doğrudan 33 tanesi sabit bir PP noktasından, diğer 33 tanesi ise PP noktasından farklı sabit bir RR noktasından geçmektedir.

Bu doğruların herhangi ikisi paralel değildir ve bu doğruların kesişim noktalarından, verilen 66 doğru üzerinde bulunanlar dışında, herhangi üçü doğrusal değildir.

Buna göre, bu doğruların kesişim noktaları köşe kabul edilerek kaç farklı üçgen oluşturulabilir?

Show answer & explanation

Answer: 141

Answer

141
Toplam 1111 kesişim noktası vardır (PP noktası, RR noktası ve bu iki noktadan çıkan doğruların kesişmesiyle oluşan 99 nokta). Bu 1111 noktadan seçilebilecek tüm üçlü kombinasyonların sayısı (113)=165\binom{11}{3} = 165'tir. Ancak aynı doğru üzerinde bulunan noktalar üçgen oluşturamaz. PP noktasından geçen 33 doğrunun her birinde ve RR noktasından geçen 33 doğrunun her birinde olmak üzere toplam 66 doğrunun her birinin üzerinde 44 adet nokta bulunmaktadır. Her bir doğru için bu 44 noktadan seçilecek üçlüler (43)=4\binom{4}{3} = 4 farklı doğrusal grup oluşturur. Toplamda 6×4=246 \times 4 = 24 doğrusal üçlü grubu üçgen oluşturamayacağı için tüm durumlardan çıkarılır ve 165−24=141165 - 24 = 141 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Kesişim noktalarının toplam sayısını bulun.
Toplam 1111 kesişim noktası vardır.
PP ve RR noktalarının kendileri birer kesişim noktasıdır. Ayrıca, PP noktasından geçen 33 doğru ile RR noktasından geçen 33 doğru, paralel olmadıkları için 3×3=93 \times 3 = 9 farklı noktada kesişir. Buradan toplam nokta sayısı 1+1+9=111 + 1 + 9 = 11 olur.
2
Bu noktalar arasından seçilebilecek tüm üçlü kombinasyonların sayısını hesaplayın.
(113)=165\binom{11}{3} = 165 farklı seçim yapılabilir.
Herhangi üç noktanın seçimi, sıranın önemsiz olduğu kombinasyon işlemiyle (113)=11×10×93×2×1=165\binom{11}{3} = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 165 olarak bulunur.
3
Aynı doğru üzerinde bulunan doğrusal nokta üçlülerinin sayısını hesaplayın.
Toplam 2424 doğrusal üçlü vardır.
PP noktasından geçen 33 doğrunun her biri üzerinde PP nokta ve diğer gruptaki doğrularla olan 33 kesişim noktası dahil olmak üzere toplam 44 nokta bulunur. Bir doğru üzerindeki 44 noktadan oluşturulabilecek doğrusal üçlü sayısı (43)=4\binom{4}{3} = 4'tür. PP'den geçen 33 doğru için 3×4=123 \times 4 = 12 doğrusal üçlü gelir. Benzer şekilde, RR noktasından geçen 33 doğrunun her birinin üzerinde de 44 nokta bulunur ve oradan da 3×4=123 \times 4 = 12 doğrusal üçlü gelir. Toplamda 12+12=2412 + 12 = 24 doğrusal üçlü elde edilir.
4
Oluşturulabilecek üçgen sayısını hesaplamak için tüm durumlardan doğrusal durumları çıkarın.
Toplam 141141 farklı üçgen oluşturulabilir.
Doğrusal üçlüler üçgen oluşturamayacağından, tüm durumlardan doğrusal durumlar çıkarılır: 165−24=141165 - 24 = 141.

Key Concept

Geometrik Kombinasyon ve Doğrusallık Analizi
Question 15Question →

Bir üniversitenin bilgisayar mühendisliği bölümünde a��ılan 88 farklı seçmeli dersten ikisi AA ve BB dersleridir. Bir öğrencinin bu derslerden seçim yaparken uyması gereken kurallar aşağıda verilmiştir:

* Öğrenci bu 88 dersten en az 33 tanesini seçmelidir.
* AA dersini seçen bir öğrenci, BB dersini de seçmek zorundadır.

Buna göre, bu öğrenci ders seçimini kaç farklı şekilde yapabilir?

Show answer & explanation

Answer: 162

Answer

Ders seçiminin yapılabileceği toplam farklı durum sayısı 162'dir.
Ders seçimlerinin geçerli olabilmesi için öğrencinin en az 33 ders seçmesi ve AA dersini seçtiğinde BB dersini de seçmiş olması gerekir. Koşulsuz olarak 88 dersten en az 33 ders seçme durumlarının sayısı 219219'dur. Kuralı ihlal eden durumlar ise AA dersinin seçildiği ama BB dersinin seçilmediği durumlardır. Bu durumlarda AA dersi seçilmiş, BB dersi elenmiştir. Toplamda en az 33 ders seçilmesi gerektiğinden, geriye kalan 66 dersten en az 22 ders seçilmelidir. Bu da 5757 farklı duruma karşılık gelir. Tüm durumlardan geçersiz durumlar çıkarıldığında 219−57=162219 - 57 = 162 geçerli durum bulunur.

Step-by-Step Solution

1
88 dersten en az 33 dersin seçilebileceği tüm koşulsuz durumların sayısını hesaplamak.
∑k=38(8k)=28−(80)−(81)−(82)=256−1−8−28=219\sum_{k=3}^{8} \binom{8}{k} = 2^8 - \binom{8}{0} - \binom{8}{1} - \binom{8}{2} = 256 - 1 - 8 - 28 = 219
Derslerin kuralsız biçimde en az 33 tane seçilebileceği tüm evrensel durumların sayısını bulmak için.
2
AA dersinin seçildiği ancak BB dersinin seçilmediği istenmeyen (kural ihlali oluşturan) durumların sayısını hesaplamak.
∑j=26(6j)=26−(60)−(61)=64−1−6=57\sum_{j=2}^{6} \binom{6}{j} = 2^6 - \binom{6}{0} - \binom{6}{1} = 64 - 1 - 6 = 57
AA dersi seçilip BB dersi seçilmediğinde, AA seçildiği için toplamda en az 33 derse ulaşmak adına kalan 66 dersten en az 22 ders daha seçilmelidir.
3
Tüm durumlardan geçersiz olan istenmeyen durumları çıkarmak.
219−57=162219 - 57 = 162
Koşullara uygun geçerli tüm seçimlerin sayısını bulmak için.

Key Concept

Koşullu kombinasyon hesaplamalarında tüm durumlardan istenmeyen durumların çıkarılması yöntemi
Estimated Time:2m 30s
Question 16Question →

Köşeleri, bir düzgün sekizgenin köşeleri arasından seçilen üçgenlerden kaç tanesinin en az bir kenarı bu düzgün sekizgenin bir kenarıdır?

Show answer & explanation

Answer: 40

Answer

En az bir kenarı düzgün sekizgenin bir kenarı olan üçgenlerin sayısı 40'tır.
Soruda en az bir kenarı düzgün sekizgenin bir kenarı olan üçgenler istendiği için, tam olarak bir kenarı ortak olan 32 üçgen ile iki kenarı ortak olan 8 üçgen toplanarak doğru sonuca ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Düzgün sekizgenin köşeleri kullanılarak oluşturulabilecek tüm üçgenlerin sayısını hesaplama.
(83)=56\binom{8}{3} = 56 farklı üçgen.
Sekizgenin 8 köşesinden herhangi 3 tanesi seçilerek bir üçgen oluşturulabilir.
2
Yalnızca bir kenarı sekizgenin kenarı olan üçgenlerin sayısını hesaplama.
8×4=328 \times 4 = 32 adet üçgen.
Ortak olan 1 kenar 8 farklı şekilde seçilebilir. Üçgenin üçüncü köşesi, seçilen kenarın köşeleri ve bunlara komşu olan köşeler olamaz; aksi takdirde ortak kenar sayısı 2 olur. Bu nedenle üçüncü köşe için kalan 4 köşeden biri seçilmelidir.
3
İki kenarı sekizgenin kenarları olan üçgenlerin sayısını hesaplama.
8 adet üçgen.
İki kenarın ortak olması için köşelerin sekizgen üzerinde ardışık üç köşe olması gerekir. Sekizgende ardışık üçlülerden oluşan 8 farklı grup vardır (örneğin A-B-C, B-C-D, ...).
4
Toplam üçgen sayısını bulma.
32+8=4032 + 8 = 40 adet üçgen.
En az bir kenarı ortak olan üçgenlerin sayısı, 1 kenarı ortak olanlar ile 2 kenarı ortak olanların toplamıdır.

Key Concept

Kombinasyon yöntemiyle durum analizi ve geometrik şekillerin sayılması.
Estimated Time:2m 0s
Question 17Question →

Bir torbada 1'den 10'a kadar numaralandırılmış 10 top bulunmaktadır. Bu torbadan aynı anda rastgele 4 top çekiliyor.

Çekilen topların üzerindeki sayılar küçükten büyüğe doğru aa, bb, cc ve dd olarak sıralandığında;
b−a≥2ved−c≥2b - a \geq 2 \quad \text{ve} \quad d - c \geq 2
koşullarını sağlayan kaç farklı {a,b,c,d}\{a, b, c, d\} kümesi seçilebilir?
Show answer & explanation

Answer: 70

Answer

Koşulları sağlayan 70 farklı küme seçilebilir.
Seçilen sayıların farkları arasındaki koşulları temsil eden değişkenler oluşturularak problem, negatif olmayan tam sayı denkleminin çözüm sayısını bulma (ayraç yöntemi) problemine dönüştürülmüştür. Bu yöntemle (84)=70\binom{8}{4} = 70 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Seçilecek elemanları küçükten büyüğe a<b<c<da < b < c < d olarak sıralayarak aralarındaki farklar üzerinden yeni değişkenler tanımlamak.
x1=a−1≥0x_1 = a - 1 \geq 0, x2=b−a−1≥0x_2 = b - a - 1 \geq 0, x3=c−b−1≥0x_3 = c - b - 1 \geq 0, x4=d−c−1≥0x_4 = d - c - 1 \geq 0 ve x5=10−d≥0x_5 = 10 - d \geq 0.
Topların numaralarının 1 ile 10 arasında olmasını ve aralarındaki sıralamayı kontrol altında tutmak.
2
Tanımlanan fark değişkenlerinin toplamını hesaplamak.
x1+x2+x3+x4+x5=6x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 6.
Değişkenlerin toplamının sınır değerlere bağlı sabit bir sayı verdiğini göstermek.
3
b−a≥2b - a \geq 2 ve d−c≥2d - c \geq 2 koşullarını değişkenler cinsinden yazıp değişken dönüşümü uygulamak.
x2≥1x_2 \geq 1 ve x4≥1x_4 \geq 1 koşullarını sağlamak için y2=x2−1≥0y_2 = x_2 - 1 \geq 0 ve y4=x4−1≥0y_4 = x_4 - 1 \geq 0 dönüşümü yapılır. Yeni denklem: x1+y2+x3+y4+x5=4x_1 + y_2 + x_3 + y_4 + x_5 = 4 olur.
Denklemi tüm değişkenlerin negatif olmayan tam sayılar (doğal sayılar) olduğu standart forma indirgemek.
4
Elde edilen denklemin doğal sayılardaki çözüm sayısını ayraç (tekrarlı kombinasyon) yöntemi ile hesaplamak.
(4+5−15−1)=(84)=70\binom{4 + 5 - 1}{5 - 1} = \binom{8}{4} = 70.
n=4n=4 özdeş nesneyi r=5r=5 farklı kutuya dağıtma probleminin çözümünü bulmak.

Key Concept

Kombinasyon ve Ayraç Yöntemi (Tekrarlı Kombinasyon)
Question 18Question →

S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\} kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinin elemanları toplamı 3 ile tam bölünür ve elemanlarının çarpımı bir çift sayıdır?

Show answer & explanation

Answer: 160

Answer

Seçilen 4 elemanının toplamı 3 ile tam bölünen ve çarpımı bir çift sayı olan alt küme sayısı 160'tır.
Toplamı 3 ile tam bölünen tüm 4 elemanlı alt kümelerin sayısı 165'tir. Bu kümeler arasından elemanlarının tamamı tek sayılardan oluşan (ve dolayısıyla çarpımları tek sayı olan) 5 küme çıkarıldığında, geriye kalan 160 alt kümenin elemanları toplamı 3'e tam bölünür ve en az bir çift sayı içerdiklerinden çarpımları çift sayı olur.

Step-by-Step Solution

1
Kümenin elemanlarını 3 ile bölümünden kalanlarına göre R0={3,6,9,12}R_0 = \{3, 6, 9, 12\}, R1={1,4,7,10}R_1 = \{1, 4, 7, 10\} ve R2={2,5,8,11}R_2 = \{2, 5, 8, 11\} olmak üzere üç gruba ayırıp eleman sayılarını belirlemek.
Her grupta 4 eleman bulunur (∣R0∣=∣R1∣=∣R2∣=4|R_0| = |R_1| = |R_2| = 4).
Seçilecek sayıların toplamının 3 ile bölümünden kalanı, bu sayıların kendi kalanlarının toplamı üzerinden analiz etmek için.
2
Toplamı 3 ile tam bölünen 4 elemanlı seçimlerin durumlarını (a,b,c)(a, b, c) şeklinde (sırasıyla R0,R1,R2R_0, R_1, R_2 gruplarından seçilen eleman sayıları) analiz edip kombinasyonlarını toplamak.
1 + 96 + 36 + 16 + 16 = 165 farklı seçim belirlenir.
a+b+c=4a+b+c = 4 ve b+2c≡0(mod3)b+2c \equiv 0 \pmod 3 koşullarını sağlayan durumları tek tek bulup kombinasyon sayılarını hesaplamak için.
3
Çarpımı tek sayı olan (yani tamamı tek sayılardan oluşan) ve toplamları 3 ile bölünen alt kümelerin sayısını hesaplamak.
5 farklı istenmeyen seçim bulunur.
Çarpımın çift olması için en az bir çift sayının seçilmesi gerektiğinden, tüm elemanları tek olan istenmeyen durumları tüm durumlardan çıkarmak için.
4
Toplam durum sayısından, sadece tek sayılardan oluşan istenmeyen durum sayısını çıkarmak.
165 - 5 = 160.
İstenen koşulları sağlayan (toplamı 3'e bölünen ve en az bir çift sayı barındıran) alt küme sayısını elde etmek için.

Key Concept

Kombinasyon (Seçme) ve Kalan Sınıfları Yardımıyla Sayma
Question 19Question →

Aynı düzlemde bulunan 8 doğrudan 4 tanesi birbirine paralel, geri kalanlardan 3 tanesi ise bir AA noktasından geçmektedir.

Buna göre, bu doğruların en çok kaç farklı kesişim noktası olabilir?

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

En çok 20 farklı kesişim noktası olabilir.
Herhangi bir kısıtlama olmasaydı 8 doğru en çok 28 noktada kesişirdi. Paralel 4 doğrudan dolayı 6 nokta, tek noktada kesişen 3 doğrudan dolayı ise 2 nokta kaybedilir. Böylece en çok 28 - 6 - 2 = 20 kesişim noktası elde edilir. Bu nedenle doğru cevap 20 değerini içeren seçenektir.

Step-by-Step Solution

1
Kısıtlamasız durumdaki maksimum kesişim sayısı hesaplanır.
(82)=8×72=28\binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28
Herhangi iki doğru en çok bir noktada kesişebileceği için 8 doğrudan seçilecek her iki doğru bir kesişim noktası belirtir.
2
Paralel olan 4 doğrunun oluşturduğu kesişim kaybı hesaplanır.
(42)=6\binom{4}{2} = 6
Paralel doğrular birbirini kesmeyeceğinden, bu 4 doğrunun kendi arasındaki kesişim noktaları toplam sayıdan düşülmelidir.
3
A noktasından geçen 3 doğrunun oluşturduğu kesişim kaybı hesaplanır.
(32)−1=3−1=2\binom{3}{2} - 1 = 3 - 1 = 2
Aynı noktadan geçen 3 doğru normalde 3 farklı noktada kesişebilecekken sadece 1 noktada (A noktasında) kesişirler. Dolayısıyla kesişim kaybı 2 olur.
4
Kayıplar kısıtlamasız durumdan çıkarılarak net sonuç bulunur.
28−6−2=2028 - 6 - 2 = 20
Paralel doğruların kaybı (6) ve noktadaş doğruların kaybı (2) toplam olasılıktan çıkarılarak maksimum kesişim sayısı elde edilir.

Key Concept

Kombinasyon yardımıyla doğruların kesişim noktası sayısının hesaplanması
Question 20Question →
A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}

kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinden kaç tanesinin en büyük elemanı ile en küçük elemanının toplamı bir çift sayıdır?

Show answer & explanation

Answer: 100

Answer

Koşulları sağlayan 4 elemanlı alt kümelerin sayısı 100'dür.
Koşulları sağlayan alt kümelerin bulunması için tüm olası en küçük ve en büyük eleman çiftleri farklarına göre sınıflandırılmış ve aralarında kalan sayılardan yapılan kombinasyon seçimleri toplanarak 100 sonucu elde edilmiştir.

Step-by-Step Solution

1
En küçük ve en büyük elemanların belirlenmesi ve çift toplam koşulunun analiz edilmesi.
En küçük eleman x1x_1, en büyük eleman x4x_4 olmak üzere, x1+x4x_1 + x_4 toplamının çift olması için x4−x1x_4 - x_1 farkının çift olması gerektiği belirlenir.
İki sayının toplamının çift olması için paritelerinin (teklik-çiftlik durumlarının) aynı olması gerekir.
2
Alt kümedeki eleman sayısı sınırlamasına göre en büyük ve en küçük elemanlar arasındaki farkın sınırlarının belirlenmesi.
Arada en az 2 eleman bulunması gerektiğinden x4−x1≥3x_4 - x_1 \geq 3 olmalıdır. Bu durumda çift farklar 4,64, 6 ve 88 olarak belirlenir.
Küçükten büyüğe sıralı 4 elemanlı kümede x1<x2<x3<x4x_1 < x_2 < x_3 < x_4 eşitsizliğinden dolayı x4−x1≥3x_4 - x_1 \geq 3 olmalıdır.
3
Farkın 4 olduğu durum için alt küme sayısının hesaplanması.
x4−x1=4x_4 - x_1 = 4 için 6 farklı (x1,x4)(x_1, x_4) ikilisi ve her biri için (32)=3\binom{3}{2} = 3 seçim olmak üzere 6×3=186 \times 3 = 18 durum bulunur.
Seçilen uç noktaların arasında kalan 3 tam sayıdan 2'sinin seçilmesi gerekir.
4
Farkın 6 olduğu durum için alt küme sayısının hesaplanması.
x4−x1=6x_4 - x_1 = 6 için 4 farklı (x1,x4)(x_1, x_4) ikilisi ve her biri için (52)=10\binom{5}{2} = 10 seçim olmak üzere 4×10=404 \times 10 = 40 durum bulunur.
Seçilen uç noktaların arasında kalan 5 tam sayıdan 2'sinin seçilmesi gerekir.
5
Farkın 8 olduğu durum için alt küme sayısının hesaplanması.
x4−x1=8x_4 - x_1 = 8 için 2 farklı (x1,x4)(x_1, x_4) ikilisi ve her biri için (72)=21\binom{7}{2} = 21 seçim olmak üzere 2×21=422 \times 21 = 42 durum bulunur.
Seçilen uç noktaların arasında kalan 7 tam sayıdan 2'sinin seçilmesi gerekir.
6
Tüm durumların toplanması.
Toplam alt küme sayısı 18+40+42=10018 + 40 + 42 = 100 olarak hesaplanır.
Ayrık durumların toplamı, toplam seçim sayısını verir.

Key Concept

Kombinasyon (Seçme) ve Koşullu Alt Küme Oluşturma

Alternative Method

Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkararak da çözüme ulaşabiliriz. 10 elemanlı bir kümenin 4 elemanlı toplam alt küme sayısı (104)=210\binom{10}{4} = 210 tanedir. İstenmeyen durum, en büyük ve en küçük elemanın toplamının tek sayı olmasıdır. Bu durum, x4−x1x_4 - x_1 farkının tek sayı olması anlamına gelir. x4−x1≥3x_4 - x_1 \geq 3 olacağına göre fark 3,5,73, 5, 7 veya 99 olabilir. Bu farklar için olası durumlar hesaplanır:
- Fark 3 ise: 7 ikili ve (22)=1\binom{2}{2} = 1 seçimden 7×1=77 \times 1 = 7 durum.
- Fark 5 ise: 5 ikili ve (42)=6\binom{4}{2} = 6 seçimden 5×6=305 \times 6 = 30 durum.
- Fark 7 ise: 3 ikili ve (62)=15\binom{6}{2} = 15 seçimden 3×15=453 \times 15 = 45 durum.
- Fark 9 ise: 1 ikili ve (82)=28\binom{8}{2} = 28 seçimden 1×28=281 \times 28 = 28 durum.
İstenmeyen toplam durum sayısı 7+30+45+28=1107 + 30 + 45 + 28 = 110 olur. İstenen durum sayısı ise 210−110=100210 - 110 = 100 olarak bulunur.
Estimated Time:2m 0s
Page 1 / 2Next