Examkin

Question

Difficulty: MediumTers Trigonometrik Fonksiyonlar
tan⁡(12arccos⁡(−35))\tan\left(\frac{1}{2} \arccos\left(-\frac{3}{5}\right)\right)

ifadesinin değeri kaçtır?

  1. A
    −2-2
  2. B
    −12-\frac{1}{2}
  3. C
    −23-\frac{2}{3}
  4. 22Answer
  5. E
    12\frac{1}{2}

Answer

İfadenin doğru değeri 22 olmalıdır.
Verilen ifade θ=arccos⁡(−35)\theta = \arccos\left(-\frac{3}{5}\right) olarak tanımlandığında, arccos⁡\arccos fonksiyonunun değer kümesi [0,π][0, \pi] olduğundan θ\theta açısı ikinci bölgededir ve cos⁡(θ)=−35\cos(\theta) = -\frac{3}{5} olur. Bu açının yarısı olan θ2\frac{\theta}{2} ise birinci bölgede yer alır ve tanjant değeri pozitif olmalıdır. Yarım açı formülü tan⁡2(θ2)=1−cos⁡(θ)1+cos⁡(θ)=1−(−3/5)1+(−3/5)=4\tan^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos(\theta)}{1 + \cos(\theta)} = \frac{1 - (-3/5)}{1 + (-3/5)} = 4 şeklinde işletildiğinde, karekök alındıktan sonra bölge gereği pozitif olan 22 değeri elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Ters kosinüs fonksiyonunun açısını bir değişkene atayarak değer aralığını belirlemek.
θ=arccos⁡(−35)\theta = \arccos\left(-\frac{3}{5}\right) olsun. arccos⁡\arccos fonksiyonunun değer kümesi [0,π][0, \pi] olduğundan, cos⁡(θ)=−35\cos(\theta) = -\frac{3}{5} eşitliğini sağlayan θ\theta açısı ikinci bölgededir (θ∈(π2,π)\theta \in (\frac{\pi}{2}, \pi)).
Ters trigonometrik fonksiyonların temel değer aralıklarına göre açının hangi bölgede olduğunu tespit etmek, işlem yönünü belirlemek için ilk adımdır.
2
Yarım açının bulunduğu bölgeyi ve trigonometrik işaretini analiz etmek.
θ\theta açısı (π2,π)(\frac{\pi}{2}, \pi) aralığında olduğundan, yarım açı olan θ2\frac{\theta}{2} açısı (π4,π2)(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}) aralığında, yani birinci bölgede yer alır. Birinci bölgedeki tüm açılar için tanjant değeri pozitif olduğundan tan⁡(θ2)>0\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) > 0 olmalıdır.
Yarım açının tanjant değerinin işaretini doğru saptamak, karekök dışına çıkacak değerin artı veya eksi olacağını belirler.
3
Yarım açı formülü kullanarak tanjant değerini hesaplamak.
tan⁡2(θ2)=1−cos⁡(θ)1+cos⁡(θ)\tan^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos(\theta)}{1 + \cos(\theta)} formülünden yararlanılarak, tan⁡2(θ2)=1−(−35)1+(−35)=8/52/5=4\tan^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - (-\frac{3}{5})}{1 + (-\frac{3}{5})} = \frac{8/5}{2/5} = 4 elde edilir. tan⁡(θ2)>0\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) > 0 olduğu için tan⁡(θ2)=2\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = 2 bulunur.
Yarım açının tanjant karesini bulup, bölge analizinden elde edilen pozitif kökü seçerek nihai sonuca ulaşılır.

Key Concept

Ters kosinüs fonksiyonunun değer kümesi [0,π][0, \pi] aralığı ile sınırlıdır. Negatif girdiler için bu açı ikinci bölgededir. İkinci bölgedeki bir açının yarısı birinci bölgeye düşer ve birinci bölgede tanjant pozitiftir.

Alternative Method

Bütünler açı yardımıyla dik üçgen çizerek çözmek için: θ=arccos⁡(−35)\theta = \arccos\left(-\frac{3}{5}\right) ise cos⁡(θ)=−35\cos(\theta) = -\frac{3}{5} ve θ\theta bir geniş açıdır. Bu açının bütünleri α=π−θ\alpha = \pi - \theta olsun, böylece cos⁡(α)=35\cos(\alpha) = \frac{3}{5} olur. Kenarları 3-4-5 olan bir dik üçgen çizelim (komşu kenar 3, karşı kenar 4). Komşu kenarı hipotenüs uzunluğu kadar (5 birim) dışarıya doğru uzatarak yeni bir dik üçgen oluşturduğumuzda, oluşan yeni açının tanjantı tan⁡(α2)=43+5=12\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{4}{3+5} = \frac{1}{2} olur. θ2=π2−α2\frac{\theta}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2} olduğundan, tan⁡(θ2)=tan⁡(π2−α2)=cot⁡(α2)=1tan⁡(α/2)=2\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}\right) = \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1}{\tan(\alpha/2)} = 2 bulunur.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Ters Trigonometrik Fonksiyonlar

More questions from this topic