Examkin

Question

Difficulty: EasyTers Trigonometrik Fonksiyonlar
cos⁡(arcsin⁡(−12))\cos\left(\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)\right)

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 32\frac{\sqrt{3}}{2}Answer
  2. B
    −32-\frac{\sqrt{3}}{2}
  3. C
    12\frac{1}{2}
  4. D
    −12-\frac{1}{2}
  5. E
    −22-\frac{\sqrt{2}}{2}

Answer

32\frac{\sqrt{3}}{2}
Ters sinüs fonksiyonunun değer aralığı [−π2,π2][-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] olduğundan arcsin⁡(−12)=−π6\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6} olur. Bu değer dıştaki kosinüs fonksiyonuna yazıldığında cos⁡(−π6)=cos⁡(π6)=32\cos(-\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Ters sinüs fonksiyonunun değer kümesini belirleme
−π2≤arcsin⁡(x)≤π2-\frac{\pi}{2} \leq \arcsin(x) \leq \frac{\pi}{2}
arcsin⁡(x)\arcsin(x) fonksiyonunun çıktısı [−π2,π2][-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] aralığında olmalıdır.
2
arcsin⁡(−12)\arcsin(-\frac{1}{2}) ifadesinin değerini bulma
−π6-\frac{\pi}{6}
sin⁡(−π6)=−12\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2} olduğundan ve bu değer [−π2,π2][-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] aralığında kaldığından aranan açı −π6-\frac{\pi}{6} (veya −30∘-30^\circ) olur.
3
cos⁡(−π6)\cos(-\frac{\pi}{6}) değerini hesaplama
32\frac{\sqrt{3}}{2}
Kosinüs fonksiyonunun çift fonksiyon özelliği (cos⁡(−x)=cos⁡(x)\cos(-x) = \cos(x)) kullanılarak cos⁡(−π6)=cos⁡(π6)=32\cos(-\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} elde edilir.

Key Concept

Ters trigonometrik fonksiyonlarda değer kümesi sınırları ve kosinüs çift fonksiyon özelliği.
Rate this question

Topics

Ters Trigonometrik Fonksiyonlar

More questions from this topic